Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42496 / 48638
↖ ↑ ↗
← S 65.362258°
E 53.437500°		 ← 254.62 m → S 65.362258°
E 53.442993°		 →
↑
254.59 m
↓
↑
254.59 m
↓
S 65.364547°
E 53.437500°		 ← 254.60 m →
64 821 m²		 S 65.364547°
E 53.442993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648445129394531 y=0.742164611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648445129394531 × 216)
    floor (0.648445129394531 × 65536)
    floor (42496.5)     		tx = 42496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742164611816406 × 216)
    floor (0.742164611816406 × 65536)
    floor (48638.5)     		ty = 48638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42496 / 48638 ti = "16/42496/48638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42496/48638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42496 ÷ 216
    42496 ÷ 65536     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48638 ÷ 216
    48638 ÷ 65536     		y = 0.742156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.48431396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52151719394058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52151719394058))-π/2
    2×atan(0.218380310199322)-π/2
    2×0.215004865067167-π/2
    0.430009730134334-1.57079632675     		φ = -1.14078660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14078660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.362258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42496 KachelY 48638 0.93266032 -1.14078660 53.437500 -65.362258
    Oben rechts KachelX + 1 42497 KachelY 48638 0.93275619 -1.14078660 53.442993 -65.362258
    Unten links KachelX 42496 KachelY + 1 48639 0.93266032 -1.14082656 53.437500 -65.364547
    Unten rechts KachelX + 1 42497 KachelY + 1 48639 0.93275619 -1.14082656 53.442993 -65.364547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14078660--1.14082656) × R
    3.99600000000611e-05 × 6371000     		dl = 254.585160000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14078660--1.14082656) × R
    3.99600000000611e-05 × 6371000     		dr = 254.585160000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.93275619) × cos(-1.14078660) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416879643732906 × 6371000     		do = 254.62498795401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.93275619) × cos(-1.14082656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416843321290753 × 6371000     		du = 254.602802650567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14078660)-sin(-1.14082656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416879643732906-0.416843321290753)×R²
    abs(0.93275619-0.93266032)×3.63224421522368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63224421522368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63224421522368e-05×40589641000000     		ar = 64820.9192823768m²