Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42494 / 48637
↖ ↑ ↗
← S 65.359967°
E 53.426514°		 ← 254.67 m → S 65.359967°
E 53.432007°		 →
↑
254.65 m
↓
↑
254.65 m
↓
S 65.362258°
E 53.426514°		 ← 254.65 m →
64 850 m²		 S 65.362258°
E 53.432007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648414611816406 y=0.742149353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648414611816406 × 216)
    floor (0.648414611816406 × 65536)
    floor (42494.5)     		tx = 42494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742149353027344 × 216)
    floor (0.742149353027344 × 65536)
    floor (48637.5)     		ty = 48637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42494 / 48637 ti = "16/42494/48637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42494/48637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42494 ÷ 216
    42494 ÷ 65536     		x = 0.648406982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48637 ÷ 216
    48637 ÷ 65536     		y = 0.742141723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648406982421875 × 2 - 1) × π
    0.29681396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.93246857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742141723632812 × 2 - 1) × π
    -0.484283447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52142132014134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93246857} λ = 0.93246857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52142132014134))-π/2
    2×atan(0.218401248153024)-π/2
    2×0.215024849855723-π/2
    0.430049699711446-1.57079632675     		φ = -1.14074663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93246857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.426514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14074663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.359967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42494 KachelY 48637 0.93246857 -1.14074663 53.426514 -65.359967
    Oben rechts KachelX + 1 42495 KachelY 48637 0.93256445 -1.14074663 53.432007 -65.359967
    Unten links KachelX 42494 KachelY + 1 48638 0.93246857 -1.14078660 53.426514 -65.362258
    Unten rechts KachelX + 1 42495 KachelY + 1 48638 0.93256445 -1.14078660 53.432007 -65.362258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14074663--1.14078660) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dl = 254.648870000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14074663--1.14078660) × R
    3.99700000000003e-05 × 6371000     		dr = 254.648870000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93246857-0.93256445) × cos(-1.14074663) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.416915974598834 × 6371000     		do = 254.673740119173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93246857-0.93256445) × cos(-1.14078660) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.416879643732906 × 6371000     		du = 254.651547355951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14074663)-sin(-1.14078660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416915974598834-0.416879643732906)×R²
    abs(0.93256445-0.93246857)×3.63308659284689e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.63308659284689e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.63308659284689e-05×40589641000000     		ar = 64849.5544677113m²