Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42490 / 48665
↖ ↑ ↗
← S 65.424014°
E 53.404541°		 ← 254.03 m → S 65.424014°
E 53.410034°		 →
↑
254.01 m
↓
↑
254.01 m
↓
S 65.426299°
E 53.404541°		 ← 254 m →
64 523 m²		 S 65.426299°
E 53.410034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648353576660156 y=0.742576599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648353576660156 × 216)
    floor (0.648353576660156 × 65536)
    floor (42490.5)     		tx = 42490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742576599121094 × 216)
    floor (0.742576599121094 × 65536)
    floor (48665.5)     		ty = 48665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42490 / 48665 ti = "16/42490/48665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42490/48665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42490 ÷ 216
    42490 ÷ 65536     		x = 0.648345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48665 ÷ 216
    48665 ÷ 65536     		y = 0.742568969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648345947265625 × 2 - 1) × π
    0.29669189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93208508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742568969726562 × 2 - 1) × π
    -0.485137939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52410578652007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93208508} λ = 0.93208508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52410578652007))-π/2
    2×atan(0.217815743580569)-π/2
    2×0.214465933674588-π/2
    0.428931867349175-1.57079632675     		φ = -1.14186446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93208508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.404541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14186446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.424014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42490 KachelY 48665 0.93208508 -1.14186446 53.404541 -65.424014
    Oben rechts KachelX + 1 42491 KachelY 48665 0.93218095 -1.14186446 53.410034 -65.424014
    Unten links KachelX 42490 KachelY + 1 48666 0.93208508 -1.14190433 53.404541 -65.426299
    Unten rechts KachelX + 1 42491 KachelY + 1 48666 0.93218095 -1.14190433 53.410034 -65.426299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14186446--1.14190433) × R
    3.98699999999419e-05 × 6371000     		dl = 254.01176999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14186446--1.14190433) × R
    3.98699999999419e-05 × 6371000     		dr = 254.01176999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93208508-0.93218095) × cos(-1.14186446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415899668308591 × 6371000     		do = 254.026430949939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93208508-0.93218095) × cos(-1.14190433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415863409781221 × 6371000     		du = 254.004284684863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14186446)-sin(-1.14190433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415899668308591-0.415863409781221)×R²
    abs(0.93218095-0.93208508)×3.62585273698812e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62585273698812e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62585273698812e-05×40589641000000     		ar = 64522.8906548828m²