Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4249 / 4537
↖ ↑ ↗
← S 19.020577°
E  6.723633°		 ← 4 619.70 m → S 19.020577°
E  6.767578°		 →
↑
4 619.10 m
↓
↑
4 619.10 m
↓
S 19.062118°
E  6.723633°		 ← 4 618.54 m →
21 336 192 m²		 S 19.062118°
E  6.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51873779296875 y=0.55389404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51873779296875 × 213)
    floor (0.51873779296875 × 8192)
    floor (4249.5)     		tx = 4249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55389404296875 × 213)
    floor (0.55389404296875 × 8192)
    floor (4537.5)     		ty = 4537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4249 / 4537 ti = "13/4249/4537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4249/4537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4249 ÷ 213
    4249 ÷ 8192     		x = 0.5186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4537 ÷ 213
    4537 ÷ 8192     		y = 0.5538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5186767578125 × 2 - 1) × π
    0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5538330078125 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.338242763719116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11734953} λ = 0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.338242763719116))-π/2
    2×atan(0.713022170971841)-π/2
    2×0.619412315294097-π/2
    1.23882463058819-1.57079632675     		φ = -0.33197170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33197170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.020577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4249 KachelY 4537 0.11734953 -0.33197170 6.723633 -19.020577
    Oben rechts KachelX + 1 4250 KachelY 4537 0.11811652 -0.33197170 6.767578 -19.020577
    Unten links KachelX 4249 KachelY + 1 4538 0.11734953 -0.33269672 6.723633 -19.062118
    Unten rechts KachelX + 1 4250 KachelY + 1 4538 0.11811652 -0.33269672 6.767578 -19.062118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33197170--0.33269672) × R
    0.000725020000000021 × 6371000     		dl = 4619.10242000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33197170--0.33269672) × R
    0.000725020000000021 × 6371000     		dr = 4619.10242000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11734953-0.11811652) × cos(-0.33197170) × R
    0.000766990000000009 × 0.945401589386343 × 6371000     		do = 4619.69852289175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11734953-0.11811652) × cos(-0.33269672) × R
    0.000766990000000009 × 0.945165051322812 × 6371000     		du = 4618.54268123148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33197170)-sin(-0.33269672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945401589386343-0.945165051322812)×R²
    abs(0.11811652-0.11734953)×0.000236538063531078×R²
    0.000766990000000009×0.000236538063531078×6371000²
    0.000766990000000009×0.000236538063531078×40589641000000     		ar = 21336192.085877m²