Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42487 / 48643
S 65.373705°
E 53.388061°
← 254.54 m → S 65.373705°
E 53.393555°

254.52 m

254.52 m
S 65.375994°
E 53.388061°
← 254.52 m →
64 783 m²
S 65.375994°
E 53.393555°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648307800292969 y=0.742240905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648307800292969 × 216)
    floor (0.648307800292969 × 65536)
    floor (42487.5)
    tx = 42487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742240905761719 × 216)
    floor (0.742240905761719 × 65536)
    floor (48643.5)
    ty = 48643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42487 / 48643 ti = "16/42487/48643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42487/48643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42487 ÷ 216
    42487 ÷ 65536
    x = 0.648300170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48643 ÷ 216
    48643 ÷ 65536
    y = 0.742233276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.648300170898438 × 2 - 1) × π
    0.296600341796875 × 3.1415926535
    Λ = 0.93179745
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.742233276367188 × 2 - 1) × π
    -0.484466552734375 × 3.1415926535
    Φ = -1.52199656293678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93179745} λ = 0.93179745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52199656293678))-π/2
    2×atan(0.218275650536534)-π/2
    2×0.21490496724465-π/2
    0.429809934489301-1.57079632675
    φ = -1.14098639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93179745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.388061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14098639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.373705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42487 KachelY 48643 0.93179745 -1.14098639 53.388061 -65.373705
    Oben rechts KachelX + 1 42488 KachelY 48643 0.93189333 -1.14098639 53.393555 -65.373705
    Unten links KachelX 42487 KachelY + 1 48644 0.93179745 -1.14102634 53.388061 -65.375994
    Unten rechts KachelX + 1 42488 KachelY + 1 48644 0.93189333 -1.14102634 53.393555 -65.375994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.14098639--1.14102634) × R
    3.99500000001218e-05 × 6371000
    dl = 254.521450000776m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.14098639--1.14102634) × R
    3.99500000001218e-05 × 6371000
    dr = 254.521450000776m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.93179745-0.93189333) × cos(-1.14098639) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.416698033957014 × 6371000
    do = 254.540610755565m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.93179745-0.93189333) × cos(-1.14102634) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.416661717278144 × 6371000
    du = 254.518426658529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.14098639)-sin(-1.14102634))×
    abs(λ12)×abs(0.416698033957014-0.416661717278144)×
    abs(0.93189333-0.93179745)×3.6316678870052e-05×
    9.58799999999371e-05×3.6316678870052e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.6316678870052e-05×40589641000000
    ar = 64783.2221782482m²