Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4248 / 4314
↖ ↑ ↗
← S  9.535749°
E  6.679688°		 ← 4 818.97 m → S  9.535749°
E  6.723633°		 →
↑
4 818.64 m
↓
↑
4 818.64 m
↓
S  9.579084°
E  6.679688°		 ← 4 818.36 m →
23 219 433 m²		 S  9.579084°
E  6.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51861572265625 y=0.52667236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51861572265625 × 213)
    floor (0.51861572265625 × 8192)
    floor (4248.5)     		tx = 4248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52667236328125 × 213)
    floor (0.52667236328125 × 8192)
    floor (4314.5)     		ty = 4314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4248 / 4314 ti = "13/4248/4314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4248/4314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4248 ÷ 213
    4248 ÷ 8192     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4314 ÷ 213
    4314 ÷ 8192     		y = 0.526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526611328125 × 2 - 1) × π
    -0.05322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.167203905874756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167203905874756))-π/2
    2×atan(0.846027083855502)-π/2
    2×0.702183055069214-π/2
    1.40436611013843-1.57079632675     		φ = -0.16643022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16643022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.535749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4248 KachelY 4314 0.11658254 -0.16643022 6.679688 -9.535749
    Oben rechts KachelX + 1 4249 KachelY 4314 0.11734953 -0.16643022 6.723633 -9.535749
    Unten links KachelX 4248 KachelY + 1 4315 0.11658254 -0.16718656 6.679688 -9.579084
    Unten rechts KachelX + 1 4249 KachelY + 1 4315 0.11734953 -0.16718656 6.723633 -9.579084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16643022--0.16718656) × R
    0.000756340000000022 × 6371000     		dl = 4818.64214000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16643022--0.16718656) × R
    0.000756340000000022 × 6371000     		dr = 4818.64214000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11734953) × cos(-0.16643022) × R
    0.000766989999999995 × 0.98618242958398 × 6371000     		do = 4818.97382487799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11734953) × cos(-0.16718656) × R
    0.000766989999999995 × 0.986056850001528 × 6371000     		du = 4818.36018109097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16643022)-sin(-0.16718656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98618242958398-0.986056850001528)×R²
    abs(0.11734953-0.11658254)×0.000125579582452295×R²
    0.000766989999999995×0.000125579582452295×6371000²
    0.000766989999999995×0.000125579582452295×40589641000000     		ar = 23219432.9860994m²