Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4248 / 3000
↖ ↑ ↗
← N 43.325178°
E  6.679688°		 ← 3 554.78 m → N 43.325178°
E  6.723633°		 →
↑
3 555.72 m
↓
↑
3 555.72 m
↓
N 43.293200°
E  6.679688°		 ← 3 556.65 m →
12 643 137 m²		 N 43.293200°
E  6.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51861572265625 y=0.36627197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51861572265625 × 213)
    floor (0.51861572265625 × 8192)
    floor (4248.5)     		tx = 4248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36627197265625 × 213)
    floor (0.36627197265625 × 8192)
    floor (3000.5)     		ty = 3000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4248 / 3000 ti = "13/4248/3000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4248/3000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4248 ÷ 213
    4248 ÷ 8192     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3000 ÷ 213
    3000 ÷ 8192     		y = 0.3662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3662109375 × 2 - 1) × π
    0.267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.840621471737305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840621471737305))-π/2
    2×atan(2.31780698080494)-π/2
    2×1.16348166315243-π/2
    2.32696332630485-1.57079632675     		φ = 0.75616700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75616700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.325178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4248 KachelY 3000 0.11658254 0.75616700 6.679688 43.325178
    Oben rechts KachelX + 1 4249 KachelY 3000 0.11734953 0.75616700 6.723633 43.325178
    Unten links KachelX 4248 KachelY + 1 3001 0.11658254 0.75560889 6.679688 43.293200
    Unten rechts KachelX + 1 4249 KachelY + 1 3001 0.11734953 0.75560889 6.723633 43.293200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75616700-0.75560889) × R
    0.000558110000000056 × 6371000     		dl = 3555.71881000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75616700-0.75560889) × R
    0.000558110000000056 × 6371000     		dr = 3555.71881000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11734953) × cos(0.75616700) × R
    0.000766989999999995 × 0.727471315575443 × 6371000     		do = 3554.78370222685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11734953) × cos(0.75560889) × R
    0.000766989999999995 × 0.727854142788759 × 6371000     		du = 3556.65438483595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75616700)-sin(0.75560889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727471315575443-0.727854142788759)×R²
    abs(0.11734953-0.11658254)×0.000382827213316506×R²
    0.000766989999999995×0.000382827213316506×6371000²
    0.000766989999999995×0.000382827213316506×40589641000000     		ar = 12643137.4143433m²