Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4248 / 2997
↖ ↑ ↗
← N 43.421009°
E  6.679688°		 ← 3 549.17 m → N 43.421009°
E  6.723633°		 →
↑
3 550.11 m
↓
↑
3 550.11 m
↓
N 43.389082°
E  6.679688°		 ← 3 551.04 m →
12 603 277 m²		 N 43.389082°
E  6.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51861572265625 y=0.36590576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51861572265625 × 213)
    floor (0.51861572265625 × 8192)
    floor (4248.5)     		tx = 4248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36590576171875 × 213)
    floor (0.36590576171875 × 8192)
    floor (2997.5)     		ty = 2997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4248 / 2997 ti = "13/4248/2997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4248/2997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4248 ÷ 213
    4248 ÷ 8192     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2997 ÷ 213
    2997 ÷ 8192     		y = 0.3658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3658447265625 × 2 - 1) × π
    0.268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.842922442919067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.842922442919067))-π/2
    2×atan(2.32314632835934)-π/2
    2×1.16431794769875-π/2
    2.32863589539751-1.57079632675     		φ = 0.75783957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75783957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.421009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4248 KachelY 2997 0.11658254 0.75783957 6.679688 43.421009
    Oben rechts KachelX + 1 4249 KachelY 2997 0.11734953 0.75783957 6.723633 43.421009
    Unten links KachelX 4248 KachelY + 1 2998 0.11658254 0.75728234 6.679688 43.389082
    Unten rechts KachelX + 1 4249 KachelY + 1 2998 0.11734953 0.75728234 6.723633 43.389082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75783957-0.75728234) × R
    0.000557229999999964 × 6371000     		dl = 3550.11232999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75783957-0.75728234) × R
    0.000557229999999964 × 6371000     		dr = 3550.11232999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11734953) × cos(0.75783957) × R
    0.000766989999999995 × 0.726322684570668 × 6371000     		do = 3549.17092452934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11734953) × cos(0.75728234) × R
    0.000766989999999995 × 0.72670558599051 × 6371000     		du = 3551.04196974812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75783957)-sin(0.75728234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726322684570668-0.72670558599051)×R²
    abs(0.11734953-0.11658254)×0.000382901419841319×R²
    0.000766989999999995×0.000382901419841319×6371000²
    0.000766989999999995×0.000382901419841319×40589641000000     		ar = 12603276.9969152m²