Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42479 / 48657
↖ ↑ ↗
← S 65.405731°
E 53.344116°		 ← 254.23 m → S 65.405731°
E 53.349609°		 →
↑
254.20 m
↓
↑
254.20 m
↓
S 65.408017°
E 53.344116°		 ← 254.21 m →
64 623 m²		 S 65.408017°
E 53.349609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648185729980469 y=0.742454528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648185729980469 × 216)
    floor (0.648185729980469 × 65536)
    floor (42479.5)     		tx = 42479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742454528808594 × 216)
    floor (0.742454528808594 × 65536)
    floor (48657.5)     		ty = 48657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42479 / 48657 ti = "16/42479/48657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42479/48657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42479 ÷ 216
    42479 ÷ 65536     		x = 0.648178100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48657 ÷ 216
    48657 ÷ 65536     		y = 0.742446899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648178100585938 × 2 - 1) × π
    0.296356201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93103046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742446899414062 × 2 - 1) × π
    -0.484893798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52333879612614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93103046} λ = 0.93103046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52333879612614))-π/2
    2×atan(0.217982870247621)-π/2
    2×0.214625484835015-π/2
    0.429250969670029-1.57079632675     		φ = -1.14154536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93103046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.344116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14154536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.405731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42479 KachelY 48657 0.93103046 -1.14154536 53.344116 -65.405731
    Oben rechts KachelX + 1 42480 KachelY 48657 0.93112634 -1.14154536 53.349609 -65.405731
    Unten links KachelX 42479 KachelY + 1 48658 0.93103046 -1.14158526 53.344116 -65.408017
    Unten rechts KachelX + 1 42480 KachelY + 1 48658 0.93112634 -1.14158526 53.349609 -65.408017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14154536--1.14158526) × R
    3.98999999999816e-05 × 6371000     		dl = 254.202899999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14154536--1.14158526) × R
    3.98999999999816e-05 × 6371000     		dr = 254.202899999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93103046-0.93112634) × cos(-1.14154536) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.416189840021236 × 6371000     		do = 254.230179738063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93103046-0.93112634) × cos(-1.14158526) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.416153559507942 × 6371000     		du = 254.208017732822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14154536)-sin(-1.14158526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416189840021236-0.416153559507942)×R²
    abs(0.93112634-0.93103046)×3.62805132942956e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.62805132942956e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.62805132942956e-05×40589641000000     		ar = 64623.2321425083m²