Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4246 / 2710
↖ ↑ ↗
← N 76.069092°
W 86.704102°		 ← 588.22 m → N 76.069092°
W 86.682129°		 →
↑
588.30 m
↓
↑
588.30 m
↓
N 76.063801°
W 86.704102°		 ← 588.44 m →
346 115 m²		 N 76.063801°
W 86.682129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259185791015625 y=0.165435791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259185791015625 × 214)
    floor (0.259185791015625 × 16384)
    floor (4246.5)     		tx = 4246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165435791015625 × 214)
    floor (0.165435791015625 × 16384)
    floor (2710.5)     		ty = 2710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4246 / 2710 ti = "14/4246/2710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4246/2710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4246 ÷ 214
    4246 ÷ 16384     		x = 0.2591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2710 ÷ 214
    2710 ÷ 16384     		y = 0.1654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.51327205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1654052734375 × 2 - 1) × π
    0.669189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10232066973718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51327205} λ = -1.51327205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10232066973718))-π/2
    2×atan(8.18514290245924)-π/2
    2×1.4492262185311-π/2
    2.89845243706219-1.57079632675     		φ = 1.32765611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51327205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.704102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32765611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.069092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4246 KachelY 2710 -1.51327205 1.32765611 -86.704102 76.069092
    Oben rechts KachelX + 1 4247 KachelY 2710 -1.51288855 1.32765611 -86.682129 76.069092
    Unten links KachelX 4246 KachelY + 1 2711 -1.51327205 1.32756377 -86.704102 76.063801
    Unten rechts KachelX + 1 4247 KachelY + 1 2711 -1.51288855 1.32756377 -86.682129 76.063801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32765611-1.32756377) × R
    9.2339999999913e-05 × 6371000     		dl = 588.298139999446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32765611-1.32756377) × R
    9.2339999999913e-05 × 6371000     		dr = 588.298139999446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51327205--1.51288855) × cos(1.32765611) × R
    0.000383500000000092 × 0.240751661249022 × 6371000     		do = 588.223357769159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51327205--1.51288855) × cos(1.32756377) × R
    0.000383500000000092 × 0.240841284202904 × 6371000     		du = 588.442331605487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32765611)-sin(1.32756377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240751661249022-0.240841284202904)×R²
    abs(-1.51288855--1.51327205)×8.96229538824844e-05×R²
    0.000383500000000092×8.96229538824844e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.96229538824844e-05×40589641000000     		ar = 346115.118475873m²