Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42457 / 91479
↖ ↑ ↗
← S 57.831592°
W 63.388367°		 ← 162.61 m → S 57.831592°
W 63.385620°		 →
↑
162.59 m
↓
↑
162.59 m
↓
S 57.833055°
W 63.388367°		 ← 162.61 m →
26 438 m²		 S 57.833055°
W 63.385620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323925018310547 y=0.697933197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323925018310547 × 217)
    floor (0.323925018310547 × 131072)
    floor (42457.5)     		tx = 42457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.697933197021484 × 217)
    floor (0.697933197021484 × 131072)
    floor (91479.5)     		ty = 91479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42457 / 91479 ti = "17/42457/91479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42457/91479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42457 ÷ 217
    42457 ÷ 131072     		x = 0.323921203613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91479 ÷ 217
    91479 ÷ 131072     		y = 0.697929382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.323921203613281 × 2 - 1) × π
    -0.352157592773438 × 3.1415926535     		Λ = -1.10633571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.697929382324219 × 2 - 1) × π
    -0.395858764648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.24362698684312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10633571} λ = -1.10633571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.24362698684312))-π/2
    2×atan(0.288336526318377)-π/2
    2×0.280722311822483-π/2
    0.561444623644967-1.57079632675     		φ = -1.00935170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10633571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.388367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00935170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.831592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42457 KachelY 91479 -1.10633571 -1.00935170 -63.388367 -57.831592
    Oben rechts KachelX + 1 42458 KachelY 91479 -1.10628777 -1.00935170 -63.385620 -57.831592
    Unten links KachelX 42457 KachelY + 1 91480 -1.10633571 -1.00937722 -63.388367 -57.833055
    Unten rechts KachelX + 1 42458 KachelY + 1 91480 -1.10628777 -1.00937722 -63.385620 -57.833055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00935170--1.00937722) × R
    2.55199999998901e-05 × 6371000     		dl = 162.5879199993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00935170--1.00937722) × R
    2.55199999998901e-05 × 6371000     		dr = 162.5879199993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10633571--1.10628777) × cos(-1.00935170) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.532409610652128 × 6371000     		do = 162.611599316432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10633571--1.10628777) × cos(-1.00937722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.532388008134057 × 6371000     		du = 162.605001351364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00935170)-sin(-1.00937722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532409610652128-0.532388008134057)×R²
    abs(-1.10628777--1.10633571)×2.1602518071151e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1602518071151e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1602518071151e-05×40589641000000     		ar = 26438.1453272032m²