Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42456 / 91480
↖ ↑ ↗
← S 57.833055°
W 63.391113°		 ← 162.57 m → S 57.833055°
W 63.388367°		 →
↑
162.65 m
↓
↑
162.65 m
↓
S 57.834517°
W 63.391113°		 ← 162.56 m →
26 442 m²		 S 57.834517°
W 63.388367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323917388916016 y=0.697940826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323917388916016 × 217)
    floor (0.323917388916016 × 131072)
    floor (42456.5)     		tx = 42456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.697940826416016 × 217)
    floor (0.697940826416016 × 131072)
    floor (91480.5)     		ty = 91480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42456 / 91480 ti = "17/42456/91480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42456/91480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42456 ÷ 217
    42456 ÷ 131072     		x = 0.32391357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91480 ÷ 217
    91480 ÷ 131072     		y = 0.69793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32391357421875 × 2 - 1) × π
    -0.3521728515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.10638364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.3958740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.24367492374274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10638364} λ = -1.10638364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.24367492374274))-π/2
    2×atan(0.288322704690543)-π/2
    2×0.280709551048422-π/2
    0.561419102096844-1.57079632675     		φ = -1.00937722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10638364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00937722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.833055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42456 KachelY 91480 -1.10638364 -1.00937722 -63.391113 -57.833055
    Oben rechts KachelX + 1 42457 KachelY 91480 -1.10633571 -1.00937722 -63.388367 -57.833055
    Unten links KachelX 42456 KachelY + 1 91481 -1.10638364 -1.00940275 -63.391113 -57.834517
    Unten rechts KachelX + 1 42457 KachelY + 1 91481 -1.10633571 -1.00940275 -63.388367 -57.834517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00937722--1.00940275) × R
    2.55300000000513e-05 × 6371000     		dl = 162.651630000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00937722--1.00940275) × R
    2.55300000000513e-05 × 6371000     		dr = 162.651630000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10638364--1.10633571) × cos(-1.00937722) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.532388008134057 × 6371000     		do = 162.571082911572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10638364--1.10633571) × cos(-1.00940275) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.532366396804117 × 6371000     		du = 162.56448363199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00937722)-sin(-1.00940275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532388008134057-0.532366396804117)×R²
    abs(-1.10633571--1.10638364)×2.16113299403853e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.16113299403853e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.16113299403853e-05×40589641000000     		ar = 26441.9149361719m²