Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4245 / 12407
↖ ↑ ↗
← N 39.985539°
W133.363037°		 ← 936.03 m → N 39.985539°
W133.352051°		 →
↑
936.09 m
↓
↑
936.09 m
↓
N 39.977120°
W133.363037°		 ← 936.14 m →
876 262 m²		 N 39.977120°
W133.352051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129562377929688 y=0.378646850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129562377929688 × 215)
    floor (0.129562377929688 × 32768)
    floor (4245.5)     		tx = 4245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378646850585938 × 215)
    floor (0.378646850585938 × 32768)
    floor (12407.5)     		ty = 12407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4245 / 12407 ti = "15/4245/12407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4245/12407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4245 ÷ 215
    4245 ÷ 32768     		x = 0.129547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12407 ÷ 215
    12407 ÷ 32768     		y = 0.378631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129547119140625 × 2 - 1) × π
    -0.74090576171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32762410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378631591796875 × 2 - 1) × π
    0.24273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.762580199155853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32762410} λ = -2.32762410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762580199155853))-π/2
    2×atan(2.14380052283123)-π/2
    2×1.13433781264965-π/2
    2.2686756252993-1.57079632675     		φ = 0.69787930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32762410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.363037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69787930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.985539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4245 KachelY 12407 -2.32762410 0.69787930 -133.363037 39.985539
    Oben rechts KachelX + 1 4246 KachelY 12407 -2.32743235 0.69787930 -133.352051 39.985539
    Unten links KachelX 4245 KachelY + 1 12408 -2.32762410 0.69773237 -133.363037 39.977120
    Unten rechts KachelX + 1 4246 KachelY + 1 12408 -2.32743235 0.69773237 -133.352051 39.977120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69787930-0.69773237) × R
    0.00014692999999999 × 6371000     		dl = 936.091029999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69787930-0.69773237) × R
    0.00014692999999999 × 6371000     		dr = 936.091029999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32762410--2.32743235) × cos(0.69787930) × R
    0.000191749999999935 × 0.766206658821837 × 6371000     		do = 936.028128027797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32762410--2.32743235) × cos(0.69773237) × R
    0.000191749999999935 × 0.766301066922434 × 6371000     		du = 936.143460669004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69787930)-sin(0.69773237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766206658821837-0.766301066922434)×R²
    abs(-2.32743235--2.32762410)×9.4408100597021e-05×R²
    0.000191749999999935×9.4408100597021e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.4408100597021e-05×40589641000000     		ar = 876261.516976718m²