Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42448 / 91760
↖ ↑ ↗
← S 58.240164°
W 63.413086°		 ← 160.76 m → S 58.240164°
W 63.410339°		 →
↑
160.74 m
↓
↑
160.74 m
↓
S 58.241609°
W 63.413086°		 ← 160.76 m →
25 841 m²		 S 58.241609°
W 63.410339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323856353759766 y=0.700077056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323856353759766 × 217)
    floor (0.323856353759766 × 131072)
    floor (42448.5)     		tx = 42448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700077056884766 × 217)
    floor (0.700077056884766 × 131072)
    floor (91760.5)     		ty = 91760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42448 / 91760 ti = "17/42448/91760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42448/91760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42448 ÷ 217
    42448 ÷ 131072     		x = 0.3238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91760 ÷ 217
    91760 ÷ 131072     		y = 0.7000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.10676714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7000732421875 × 2 - 1) × π
    -0.400146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25709725563635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10676714} λ = -1.10676714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25709725563635))-π/2
    2×atan(0.284478597807295)-π/2
    2×0.277156858040612-π/2
    0.554313716081225-1.57079632675     		φ = -1.01648261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10676714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01648261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.240164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42448 KachelY 91760 -1.10676714 -1.01648261 -63.413086 -58.240164
    Oben rechts KachelX + 1 42449 KachelY 91760 -1.10671920 -1.01648261 -63.410339 -58.240164
    Unten links KachelX 42448 KachelY + 1 91761 -1.10676714 -1.01650784 -63.413086 -58.241609
    Unten rechts KachelX + 1 42449 KachelY + 1 91761 -1.10671920 -1.01650784 -63.410339 -58.241609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01648261--1.01650784) × R
    2.52300000000982e-05 × 6371000     		dl = 160.740330000626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01648261--1.01650784) × R
    2.52300000000982e-05 × 6371000     		dr = 160.740330000626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10676714--1.10671920) × cos(-1.01648261) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.526359903759825 × 6371000     		do = 160.763863112812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10676714--1.10671920) × cos(-1.01650784) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.526338451485258 × 6371000     		du = 160.757311035978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01648261)-sin(-1.01650784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526359903759825-0.526338451485258)×R²
    abs(-1.10671920--1.10676714)×2.14522745672907e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.14522745672907e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.14522745672907e-05×40589641000000     		ar = 25840.7098186115m²