Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4244 / 3920
↖ ↑ ↗
← N 79.528647°
W133.374024°		 ← 222.03 m → N 79.528647°
W133.363037°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
N 79.526650°
W133.374024°		 ← 222.07 m →
49 301 m²		 N 79.526650°
W133.363037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129531860351562 y=0.119644165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129531860351562 × 215)
    floor (0.129531860351562 × 32768)
    floor (4244.5)     		tx = 4244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119644165039062 × 215)
    floor (0.119644165039062 × 32768)
    floor (3920.5)     		ty = 3920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4244 / 3920 ti = "15/4244/3920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4244/3920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4244 ÷ 215
    4244 ÷ 32768     		x = 0.1295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3920 ÷ 215
    3920 ÷ 32768     		y = 0.11962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32781585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11962890625 × 2 - 1) × π
    0.7607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38994206745752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32781585} λ = -2.32781585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38994206745752))-π/2
    2×atan(10.912861714904)-π/2
    2×1.47941653538561-π/2
    2.95883307077122-1.57079632675     		φ = 1.38803674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32781585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.374024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38803674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.528647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4244 KachelY 3920 -2.32781585 1.38803674 -133.374024 79.528647
    Oben rechts KachelX + 1 4245 KachelY 3920 -2.32762410 1.38803674 -133.363037 79.528647
    Unten links KachelX 4244 KachelY + 1 3921 -2.32781585 1.38800189 -133.374024 79.526650
    Unten rechts KachelX + 1 4245 KachelY + 1 3921 -2.32762410 1.38800189 -133.363037 79.526650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38803674-1.38800189) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dl = 222.029350000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38803674-1.38800189) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dr = 222.029350000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32781585--2.32762410) × cos(1.38803674) × R
    0.000191749999999935 × 0.181743890359503 × 6371000     		do = 222.02546991079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32781585--2.32762410) × cos(1.38800189) × R
    0.000191749999999935 × 0.181778159853732 × 6371000     		du = 222.067334870018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38803674)-sin(1.38800189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181743890359503-0.181778159853732)×R²
    abs(-2.32762410--2.32781585)×3.42694942291333e-05×R²
    0.000191749999999935×3.42694942291333e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.42694942291333e-05×40589641000000     		ar = 49300.818397451m²