Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4244 / 2961
↖ ↑ ↗
← N 44.559163°
E  6.503906°		 ← 3 481.76 m → N 44.559163°
E  6.547852°		 →
↑
3 482.64 m
↓
↑
3 482.64 m
↓
N 44.527843°
E  6.503906°		 ← 3 483.63 m →
12 128 974 m²		 N 44.527843°
E  6.547852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51812744140625 y=0.36151123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51812744140625 × 213)
    floor (0.51812744140625 × 8192)
    floor (4244.5)     		tx = 4244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36151123046875 × 213)
    floor (0.36151123046875 × 8192)
    floor (2961.5)     		ty = 2961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4244 / 2961 ti = "13/4244/2961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4244/2961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4244 ÷ 213
    4244 ÷ 8192     		x = 0.51806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2961 ÷ 213
    2961 ÷ 8192     		y = 0.3614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3614501953125 × 2 - 1) × π
    0.277099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.87053409710022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11351458} λ = 0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87053409710022))-π/2
    2×atan(2.388186036195)-π/2
    2×1.17425022015411-π/2
    2.34850044030821-1.57079632675     		φ = 0.77770411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77770411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.559163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4244 KachelY 2961 0.11351458 0.77770411 6.503906 44.559163
    Oben rechts KachelX + 1 4245 KachelY 2961 0.11428157 0.77770411 6.547852 44.559163
    Unten links KachelX 4244 KachelY + 1 2962 0.11351458 0.77715747 6.503906 44.527843
    Unten rechts KachelX + 1 4245 KachelY + 1 2962 0.11428157 0.77715747 6.547852 44.527843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77770411-0.77715747) × R
    0.000546639999999932 × 6371000     		dl = 3482.64343999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77770411-0.77715747) × R
    0.000546639999999932 × 6371000     		dr = 3482.64343999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11351458-0.11428157) × cos(0.77770411) × R
    0.000766989999999995 × 0.7125263151283 × 6371000     		do = 3481.75505782284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11351458-0.11428157) × cos(0.77715747) × R
    0.000766989999999995 × 0.712909756087121 × 6371000     		du = 3483.62873949523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77770411)-sin(0.77715747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7125263151283-0.712909756087121)×R²
    abs(0.11428157-0.11351458)×0.000383440958820591×R²
    0.000766989999999995×0.000383440958820591×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383440958820591×40589641000000     		ar = 12128974.3964318m²