Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4243 / 3890
↖ ↑ ↗
← N 79.588379°
W133.385010°		 ← 220.76 m → N 79.588379°
W133.374024°		 →
↑
220.76 m
↓
↑
220.76 m
↓
N 79.586394°
W133.385010°		 ← 220.80 m →
48 739 m²		 N 79.586394°
W133.374024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129501342773438 y=0.118728637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129501342773438 × 215)
    floor (0.129501342773438 × 32768)
    floor (4243.5)     		tx = 4243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118728637695312 × 215)
    floor (0.118728637695312 × 32768)
    floor (3890.5)     		ty = 3890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4243 / 3890 ti = "15/4243/3890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4243/3890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4243 ÷ 215
    4243 ÷ 32768     		x = 0.129486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3890 ÷ 215
    3890 ÷ 32768     		y = 0.11871337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.74102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32800759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11871337890625 × 2 - 1) × π
    0.7625732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39569449541193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32800759} λ = -2.32800759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39569449541193))-π/2
    2×atan(10.9758180680339)-π/2
    2×1.47993779392493-π/2
    2.95987558784987-1.57079632675     		φ = 1.38907926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32800759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.385010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38907926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.588379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4243 KachelY 3890 -2.32800759 1.38907926 -133.385010 79.588379
    Oben rechts KachelX + 1 4244 KachelY 3890 -2.32781585 1.38907926 -133.374024 79.588379
    Unten links KachelX 4243 KachelY + 1 3891 -2.32800759 1.38904461 -133.385010 79.586394
    Unten rechts KachelX + 1 4244 KachelY + 1 3891 -2.32781585 1.38904461 -133.374024 79.586394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38907926-1.38904461) × R
    3.46499999999139e-05 × 6371000     		dl = 220.755149999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38907926-1.38904461) × R
    3.46499999999139e-05 × 6371000     		dr = 220.755149999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32800759--2.32781585) × cos(1.38907926) × R
    0.000191739999999996 × 0.180718634013942 × 6371000     		do = 220.761462933639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32800759--2.32781585) × cos(1.38904461) × R
    0.000191739999999996 × 0.180752713387545 × 6371000     		du = 220.80309346285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38907926)-sin(1.38904461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180718634013942-0.180752713387545)×R²
    abs(-2.32781585--2.32800759)×3.40793736029188e-05×R²
    0.000191739999999996×3.40793736029188e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.40793736029188e-05×40589641000000     		ar = 48738.8249450789m²