Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4243 / 3727
↖ ↑ ↗
← N 79.907079°
W133.385010°		 ← 214.08 m → N 79.907079°
W133.374024°		 →
↑
214.07 m
↓
↑
214.07 m
↓
N 79.905154°
W133.385010°		 ← 214.12 m →
45 830 m²		 N 79.905154°
W133.374024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129501342773438 y=0.113754272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129501342773438 × 215)
    floor (0.129501342773438 × 32768)
    floor (4243.5)     		tx = 4243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113754272460938 × 215)
    floor (0.113754272460938 × 32768)
    floor (3727.5)     		ty = 3727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4243 / 3727 ti = "15/4243/3727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4243/3727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4243 ÷ 215
    4243 ÷ 32768     		x = 0.129486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3727 ÷ 215
    3727 ÷ 32768     		y = 0.113739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.74102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32800759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113739013671875 × 2 - 1) × π
    0.77252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4269493539642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32800759} λ = -2.32800759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4269493539642))-π/2
    2×atan(11.3242829530906)-π/2
    2×1.48271898072087-π/2
    2.96543796144174-1.57079632675     		φ = 1.39464163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32800759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.385010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39464163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.907079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4243 KachelY 3727 -2.32800759 1.39464163 -133.385010 79.907079
    Oben rechts KachelX + 1 4244 KachelY 3727 -2.32781585 1.39464163 -133.374024 79.907079
    Unten links KachelX 4243 KachelY + 1 3728 -2.32800759 1.39460803 -133.385010 79.905154
    Unten rechts KachelX + 1 4244 KachelY + 1 3728 -2.32781585 1.39460803 -133.374024 79.905154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39464163-1.39460803) × R
    3.3599999999856e-05 × 6371000     		dl = 214.065599999082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39464163-1.39460803) × R
    3.3599999999856e-05 × 6371000     		dr = 214.065599999082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32800759--2.32781585) × cos(1.39464163) × R
    0.000191739999999996 × 0.175245081847914 × 6371000     		do = 214.075105490706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32800759--2.32781585) × cos(1.39460803) × R
    0.000191739999999996 × 0.175278161783622 × 6371000     		du = 214.115515131031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39464163)-sin(1.39460803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175245081847914-0.175278161783622)×R²
    abs(-2.32781585--2.32800759)×3.30799357074196e-05×R²
    0.000191739999999996×3.30799357074196e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.30799357074196e-05×40589641000000     		ar = 45830.4410632337m²