Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4243 / 2956
↖ ↑ ↗
← N 44.715514°
E  6.459961°		 ← 3 472.39 m → N 44.715514°
E  6.503906°		 →
↑
3 473.34 m
↓
↑
3 473.34 m
↓
N 44.684277°
E  6.459961°		 ← 3 474.26 m →
12 064 038 m²		 N 44.684277°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51800537109375 y=0.36090087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51800537109375 × 213)
    floor (0.51800537109375 × 8192)
    floor (4243.5)     		tx = 4243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36090087890625 × 213)
    floor (0.36090087890625 × 8192)
    floor (2956.5)     		ty = 2956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4243 / 2956 ti = "13/4243/2956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4243/2956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4243 ÷ 213
    4243 ÷ 8192     		x = 0.5179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2956 ÷ 213
    2956 ÷ 8192     		y = 0.36083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5179443359375 × 2 - 1) × π
    0.035888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11274759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36083984375 × 2 - 1) × π
    0.2783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.874369049069824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11274759} λ = 0.11274759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874369049069824))-π/2
    2×atan(2.3973621987636)-π/2
    2×1.17561463406082-π/2
    2.35122926812165-1.57079632675     		φ = 0.78043294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11274759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.459961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78043294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.715514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4243 KachelY 2956 0.11274759 0.78043294 6.459961 44.715514
    Oben rechts KachelX + 1 4244 KachelY 2956 0.11351458 0.78043294 6.503906 44.715514
    Unten links KachelX 4243 KachelY + 1 2957 0.11274759 0.77988776 6.459961 44.684277
    Unten rechts KachelX + 1 4244 KachelY + 1 2957 0.11351458 0.77988776 6.503906 44.684277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78043294-0.77988776) × R
    0.000545179999999923 × 6371000     		dl = 3473.34177999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78043294-0.77988776) × R
    0.000545179999999923 × 6371000     		dr = 3473.34177999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11274759-0.11351458) × cos(0.78043294) × R
    0.000766990000000009 × 0.710608993604276 × 6371000     		do = 3472.38607906099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11274759-0.11351458) × cos(0.77988776) × R
    0.000766990000000009 × 0.710992469616143 × 6371000     		du = 3474.25993201985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78043294)-sin(0.77988776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710608993604276-0.710992469616143)×R²
    abs(0.11351458-0.11274759)×0.000383476011867501×R²
    0.000766990000000009×0.000383476011867501×6371000²
    0.000766990000000009×0.000383476011867501×40589641000000     		ar = 12064038.2093842m²