Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4243 / 2954
↖ ↑ ↗
← N 44.777936°
E  6.459961°		 ← 3 468.64 m → N 44.777936°
E  6.503906°		 →
↑
3 469.58 m
↓
↑
3 469.58 m
↓
N 44.746733°
E  6.459961°		 ← 3 470.51 m →
12 037 979 m²		 N 44.746733°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51800537109375 y=0.36065673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51800537109375 × 213)
    floor (0.51800537109375 × 8192)
    floor (4243.5)     		tx = 4243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36065673828125 × 213)
    floor (0.36065673828125 × 8192)
    floor (2954.5)     		ty = 2954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4243 / 2954 ti = "13/4243/2954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4243/2954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4243 ÷ 213
    4243 ÷ 8192     		x = 0.5179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2954 ÷ 213
    2954 ÷ 8192     		y = 0.360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5179443359375 × 2 - 1) × π
    0.035888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11274759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360595703125 × 2 - 1) × π
    0.27880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.875903029857666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11274759} λ = 0.11274759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.875903029857666))-π/2
    2×atan(2.40104252837378)-π/2
    2×1.1761593702074-π/2
    2.3523187404148-1.57079632675     		φ = 0.78152241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11274759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.459961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78152241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.777936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4243 KachelY 2954 0.11274759 0.78152241 6.459961 44.777936
    Oben rechts KachelX + 1 4244 KachelY 2954 0.11351458 0.78152241 6.503906 44.777936
    Unten links KachelX 4243 KachelY + 1 2955 0.11274759 0.78097782 6.459961 44.746733
    Unten rechts KachelX + 1 4244 KachelY + 1 2955 0.11351458 0.78097782 6.503906 44.746733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78152241-0.78097782) × R
    0.000544589999999956 × 6371000     		dl = 3469.58288999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78152241-0.78097782) × R
    0.000544589999999956 × 6371000     		dr = 3469.58288999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11274759-0.11351458) × cos(0.78152241) × R
    0.000766990000000009 × 0.709842034951841 × 6371000     		do = 3468.63834075216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11274759-0.11351458) × cos(0.78097782) × R
    0.000766990000000009 × 0.710225517576633 × 6371000     		du = 3470.51222602503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78152241)-sin(0.78097782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709842034951841-0.710225517576633)×R²
    abs(0.11351458-0.11274759)×0.000383482624792042×R²
    0.000766990000000009×0.000383482624792042×6371000²
    0.000766990000000009×0.000383482624792042×40589641000000     		ar = 12037979.3363284m²