Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4242 / 3729
↖ ↑ ↗
← N 79.903228°
W133.395996°		 ← 214.17 m → N 79.903228°
W133.385010°		 →
↑
214.19 m
↓
↑
214.19 m
↓
N 79.901302°
W133.395996°		 ← 214.21 m →
45 877 m²		 N 79.901302°
W133.385010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129470825195312 y=0.113815307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129470825195312 × 215)
    floor (0.129470825195312 × 32768)
    floor (4242.5)     		tx = 4242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113815307617188 × 215)
    floor (0.113815307617188 × 32768)
    floor (3729.5)     		ty = 3729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4242 / 3729 ti = "15/4242/3729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4242/3729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4242 ÷ 215
    4242 ÷ 32768     		x = 0.12945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3729 ÷ 215
    3729 ÷ 32768     		y = 0.113800048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.7410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32819934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113800048828125 × 2 - 1) × π
    0.77239990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42656585876724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32819934} λ = -2.32819934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42656585876724))-π/2
    2×atan(11.3199409775856)-π/2
    2×1.48268537155383-π/2
    2.96537074310767-1.57079632675     		φ = 1.39457442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32819934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39457442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.903228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4242 KachelY 3729 -2.32819934 1.39457442 -133.395996 79.903228
    Oben rechts KachelX + 1 4243 KachelY 3729 -2.32800759 1.39457442 -133.385010 79.903228
    Unten links KachelX 4242 KachelY + 1 3730 -2.32819934 1.39454080 -133.395996 79.901302
    Unten rechts KachelX + 1 4243 KachelY + 1 3730 -2.32800759 1.39454080 -133.385010 79.901302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39457442-1.39454080) × R
    3.36200000001785e-05 × 6371000     		dl = 214.193020001137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39457442-1.39454080) × R
    3.36200000001785e-05 × 6371000     		dr = 214.193020001137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32819934--2.32800759) × cos(1.39457442) × R
    0.000191749999999935 × 0.175311251366578 × 6371000     		do = 214.167105635955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32819934--2.32800759) × cos(1.39454080) × R
    0.000191749999999935 × 0.175344350596569 × 6371000     		du = 214.207540954457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39457442)-sin(1.39454080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175311251366578-0.175344350596569)×R²
    abs(-2.32800759--2.32819934)×3.30992299907573e-05×R²
    0.000191749999999935×3.30992299907573e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.30992299907573e-05×40589641000000     		ar = 45877.4296267436m²