Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4242 / 12410
↖ ↑ ↗
← N 39.960280°
W133.395996°		 ← 936.37 m → N 39.960280°
W133.385010°		 →
↑
936.41 m
↓
↑
936.41 m
↓
N 39.951859°
W133.395996°		 ← 936.49 m →
876 884 m²		 N 39.951859°
W133.385010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129470825195312 y=0.378738403320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129470825195312 × 215)
    floor (0.129470825195312 × 32768)
    floor (4242.5)     		tx = 4242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378738403320312 × 215)
    floor (0.378738403320312 × 32768)
    floor (12410.5)     		ty = 12410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4242 / 12410 ti = "15/4242/12410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4242/12410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4242 ÷ 215
    4242 ÷ 32768     		x = 0.12945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12410 ÷ 215
    12410 ÷ 32768     		y = 0.37872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.7410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32819934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37872314453125 × 2 - 1) × π
    0.2425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.762004956360413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32819934} λ = -2.32819934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762004956360413))-π/2
    2×atan(2.14256767165399)-π/2
    2×1.13411739449033-π/2
    2.26823478898067-1.57079632675     		φ = 0.69743846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32819934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69743846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.960280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4242 KachelY 12410 -2.32819934 0.69743846 -133.395996 39.960280
    Oben rechts KachelX + 1 4243 KachelY 12410 -2.32800759 0.69743846 -133.385010 39.960280
    Unten links KachelX 4242 KachelY + 1 12411 -2.32819934 0.69729148 -133.395996 39.951859
    Unten rechts KachelX + 1 4243 KachelY + 1 12411 -2.32800759 0.69729148 -133.385010 39.951859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69743846-0.69729148) × R
    0.000146980000000019 × 6371000     		dl = 936.409580000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69743846-0.69729148) × R
    0.000146980000000019 × 6371000     		dr = 936.409580000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32819934--2.32800759) × cos(0.69743846) × R
    0.000191749999999935 × 0.766489865604712 × 6371000     		do = 936.374104549624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32819934--2.32800759) × cos(0.69729148) × R
    0.000191749999999935 × 0.766584256171053 × 6371000     		du = 936.489415770296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69743846)-sin(0.69729148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766489865604712-0.766584256171053)×R²
    abs(-2.32800759--2.32819934)×9.4390566341418e-05×R²
    0.000191749999999935×9.4390566341418e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.4390566341418e-05×40589641000000     		ar = 876883.672809137m²