Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4242 / 12391
↖ ↑ ↗
← N 40.120090°
W133.395996°		 ← 934.18 m → N 40.120090°
W133.385010°		 →
↑
934.18 m
↓
↑
934.18 m
↓
N 40.111689°
W133.395996°		 ← 934.30 m →
872 748 m²		 N 40.111689°
W133.385010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129470825195312 y=0.378158569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129470825195312 × 215)
    floor (0.129470825195312 × 32768)
    floor (4242.5)     		tx = 4242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378158569335938 × 215)
    floor (0.378158569335938 × 32768)
    floor (12391.5)     		ty = 12391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4242 / 12391 ti = "15/4242/12391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4242/12391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4242 ÷ 215
    4242 ÷ 32768     		x = 0.12945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12391 ÷ 215
    12391 ÷ 32768     		y = 0.378143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.7410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32819934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378143310546875 × 2 - 1) × π
    0.24371337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.765648160731537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32819934} λ = -2.32819934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.765648160731537))-π/2
    2×atan(2.15038771992823)-π/2
    2×1.13551200005564-π/2
    2.27102400011129-1.57079632675     		φ = 0.70022767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32819934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70022767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.120090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4242 KachelY 12391 -2.32819934 0.70022767 -133.395996 40.120090
    Oben rechts KachelX + 1 4243 KachelY 12391 -2.32800759 0.70022767 -133.385010 40.120090
    Unten links KachelX 4242 KachelY + 1 12392 -2.32819934 0.70008104 -133.395996 40.111689
    Unten rechts KachelX + 1 4243 KachelY + 1 12392 -2.32800759 0.70008104 -133.385010 40.111689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70022767-0.70008104) × R
    0.000146629999999925 × 6371000     		dl = 934.179729999525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70022767-0.70008104) × R
    0.000146629999999925 × 6371000     		dr = 934.179729999525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32819934--2.32800759) × cos(0.70022767) × R
    0.000191749999999935 × 0.764695498422629 × 6371000     		do = 934.18203517108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32819934--2.32800759) × cos(0.70008104) × R
    0.000191749999999935 × 0.764789977371628 × 6371000     		du = 934.297454363477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70022767)-sin(0.70008104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764695498422629-0.764789977371628)×R²
    abs(-2.32800759--2.32819934)×9.4478948999166e-05×R²
    0.000191749999999935×9.4478948999166e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.4478948999166e-05×40589641000000     		ar = 872747.834084422m²