Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42401 / 91808
↖ ↑ ↗
← S 58.309489°
W 63.542175°		 ← 160.42 m → S 58.309489°
W 63.539429°		 →
↑
160.42 m
↓
↑
160.42 m
↓
S 58.310932°
W 63.542175°		 ← 160.41 m →
25 734 m²		 S 58.310932°
W 63.539429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323497772216797 y=0.700443267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323497772216797 × 217)
    floor (0.323497772216797 × 131072)
    floor (42401.5)     		tx = 42401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700443267822266 × 217)
    floor (0.700443267822266 × 131072)
    floor (91808.5)     		ty = 91808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42401 / 91808 ti = "17/42401/91808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42401/91808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42401 ÷ 217
    42401 ÷ 131072     		x = 0.323493957519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91808 ÷ 217
    91808 ÷ 131072     		y = 0.700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.323493957519531 × 2 - 1) × π
    -0.353012084960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.10902017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700439453125 × 2 - 1) × π
    -0.40087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25939822681812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10902017} λ = -1.10902017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25939822681812))-π/2
    2×atan(0.283824773256108)-π/2
    2×0.276551880694545-π/2
    0.553103761389091-1.57079632675     		φ = -1.01769257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10902017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.542175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01769257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.309489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42401 KachelY 91808 -1.10902017 -1.01769257 -63.542175 -58.309489
    Oben rechts KachelX + 1 42402 KachelY 91808 -1.10897224 -1.01769257 -63.539429 -58.309489
    Unten links KachelX 42401 KachelY + 1 91809 -1.10902017 -1.01771775 -63.542175 -58.310932
    Unten rechts KachelX + 1 42402 KachelY + 1 91809 -1.10897224 -1.01771775 -63.539429 -58.310932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01769257--1.01771775) × R
    2.51800000001801e-05 × 6371000     		dl = 160.421780001147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01769257--1.01771775) × R
    2.51800000001801e-05 × 6371000     		dr = 160.421780001147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10902017--1.10897224) × cos(-1.01769257) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.525330735859434 × 6371000     		do = 160.416059923529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10902017--1.10897224) × cos(-1.01771775) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.525309310078127 × 6371000     		du = 160.409517303455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01769257)-sin(-1.01771775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525330735859434-0.525309310078127)×R²
    abs(-1.10897224--1.10902017)×2.14257813064833e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.14257813064833e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.14257813064833e-05×40589641000000     		ar = 25733.7050858437m²