Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4240 / 4270
↖ ↑ ↗
← S  7.623887°
E  6.328125°		 ← 4 843.30 m → S  7.623887°
E  6.372070°		 →
↑
4 843.04 m
↓
↑
4 843.04 m
↓
S  7.667442°
E  6.328125°		 ← 4 842.80 m →
23 455 106 m²		 S  7.667442°
E  6.372070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51763916015625 y=0.52130126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51763916015625 × 213)
    floor (0.51763916015625 × 8192)
    floor (4240.5)     		tx = 4240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52130126953125 × 213)
    floor (0.52130126953125 × 8192)
    floor (4270.5)     		ty = 4270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4240 / 4270 ti = "13/4240/4270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4240/4270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4240 ÷ 213
    4240 ÷ 8192     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4270 ÷ 213
    4270 ÷ 8192     		y = 0.521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.04248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.133456328542236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.133456328542236))-π/2
    2×atan(0.875065683537207)-π/2
    2×0.718867199706112-π/2
    1.43773439941222-1.57079632675     		φ = -0.13306193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13306193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.623887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4240 KachelY 4270 0.11044662 -0.13306193 6.328125 -7.623887
    Oben rechts KachelX + 1 4241 KachelY 4270 0.11121361 -0.13306193 6.372070 -7.623887
    Unten links KachelX 4240 KachelY + 1 4271 0.11044662 -0.13382210 6.328125 -7.667442
    Unten rechts KachelX + 1 4241 KachelY + 1 4271 0.11121361 -0.13382210 6.372070 -7.667442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13306193--0.13382210) × R
    0.000760170000000004 × 6371000     		dl = 4843.04307000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13306193--0.13382210) × R
    0.000760170000000004 × 6371000     		dr = 4843.04307000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11121361) × cos(-0.13306193) × R
    0.000766990000000009 × 0.991160315516052 × 6371000     		do = 4843.29823108353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11121361) × cos(-0.13382210) × R
    0.000766990000000009 × 0.991059177683065 × 6371000     		du = 4842.80402174127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13306193)-sin(-0.13382210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991160315516052-0.991059177683065)×R²
    abs(0.11121361-0.11044662)×0.000101137832987264×R²
    0.000766990000000009×0.000101137832987264×6371000²
    0.000766990000000009×0.000101137832987264×40589641000000     		ar = 23455106.3249048m²