Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42399 / 91810
↖ ↑ ↗
← S 58.312375°
W 63.547669°		 ← 160.44 m → S 58.312375°
W 63.544922°		 →
↑
160.42 m
↓
↑
160.42 m
↓
S 58.313817°
W 63.547669°		 ← 160.43 m →
25 737 m²		 S 58.313817°
W 63.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323482513427734 y=0.700458526611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323482513427734 × 217)
    floor (0.323482513427734 × 131072)
    floor (42399.5)     		tx = 42399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700458526611328 × 217)
    floor (0.700458526611328 × 131072)
    floor (91810.5)     		ty = 91810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42399 / 91810 ti = "17/42399/91810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42399/91810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42399 ÷ 217
    42399 ÷ 131072     		x = 0.323478698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91810 ÷ 217
    91810 ÷ 131072     		y = 0.700454711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.323478698730469 × 2 - 1) × π
    -0.353042602539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.10911605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700454711914062 × 2 - 1) × π
    -0.400909423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.25949410061736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10911605} λ = -1.10911605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25949410061736))-π/2
    2×atan(0.283797563201164)-π/2
    2×0.276526698994777-π/2
    0.553053397989554-1.57079632675     		φ = -1.01774293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10911605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.547669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01774293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.312375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42399 KachelY 91810 -1.10911605 -1.01774293 -63.547669 -58.312375
    Oben rechts KachelX + 1 42400 KachelY 91810 -1.10906811 -1.01774293 -63.544922 -58.312375
    Unten links KachelX 42399 KachelY + 1 91811 -1.10911605 -1.01776811 -63.547669 -58.313817
    Unten rechts KachelX + 1 42400 KachelY + 1 91811 -1.10906811 -1.01776811 -63.544922 -58.313817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01774293--1.01776811) × R
    2.5179999999958e-05 × 6371000     		dl = 160.421779999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01774293--1.01776811) × R
    2.5179999999958e-05 × 6371000     		dr = 160.421779999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10911605--1.10906811) × cos(-1.01774293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.525287883963758 × 6371000     		do = 160.43644067256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10911605--1.10906811) × cos(-1.01776811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.525266457516339 × 6371000     		du = 160.429896484001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01774293)-sin(-1.01776811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525287883963758-0.525266457516339)×R²
    abs(-1.10906811--1.10911605)×2.14264474189818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14264474189818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14264474189818e-05×40589641000000     		ar = 25736.9744756849m²