Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4239 / 4310
↖ ↑ ↗
← S  9.362353°
E  6.284180°		 ← 4 821.40 m → S  9.362353°
E  6.328125°		 →
↑
4 821.13 m
↓
↑
4 821.13 m
↓
S  9.405710°
E  6.284180°		 ← 4 820.80 m →
23 243 136 m²		 S  9.405710°
E  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51751708984375 y=0.52618408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51751708984375 × 213)
    floor (0.51751708984375 × 8192)
    floor (4239.5)     		tx = 4239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52618408203125 × 213)
    floor (0.52618408203125 × 8192)
    floor (4310.5)     		ty = 4310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4239 / 4310 ti = "13/4239/4310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4239/4310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4239 ÷ 213
    4239 ÷ 8192     		x = 0.5174560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4310 ÷ 213
    4310 ÷ 8192     		y = 0.526123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526123046875 × 2 - 1) × π
    -0.05224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.164135944299072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10967963} λ = 0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164135944299072))-π/2
    2×atan(0.848626648083332)-π/2
    2×0.703696222160636-π/2
    1.40739244432127-1.57079632675     		φ = -0.16340388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16340388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.362353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4239 KachelY 4310 0.10967963 -0.16340388 6.284180 -9.362353
    Oben rechts KachelX + 1 4240 KachelY 4310 0.11044662 -0.16340388 6.328125 -9.362353
    Unten links KachelX 4239 KachelY + 1 4311 0.10967963 -0.16416061 6.284180 -9.405710
    Unten rechts KachelX + 1 4240 KachelY + 1 4311 0.11044662 -0.16416061 6.328125 -9.405710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16340388--0.16416061) × R
    0.000756730000000011 × 6371000     		dl = 4821.12683000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16340388--0.16416061) × R
    0.000756730000000011 × 6371000     		dr = 4821.12683000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10967963-0.11044662) × cos(-0.16340388) × R
    0.000766989999999995 × 0.986679265166605 × 6371000     		do = 4821.40160861871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10967963-0.11044662) × cos(-0.16416061) × R
    0.000766989999999995 × 0.98655587959115 × 6371000     		du = 4820.79868583217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16340388)-sin(-0.16416061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986679265166605-0.98655587959115)×R²
    abs(0.11044662-0.10967963)×0.000123385575454993×R²
    0.000766989999999995×0.000123385575454993×6371000²
    0.000766989999999995×0.000123385575454993×40589641000000     		ar = 23243136.3790688m²