Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4239 / 3736
↖ ↑ ↗
← N 79.889737°
W133.428955°		 ← 214.44 m → N 79.889737°
W133.417969°		 →
↑
214.45 m
↓
↑
214.45 m
↓
N 79.887808°
W133.428955°		 ← 214.48 m →
45 990 m²		 N 79.887808°
W133.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129379272460938 y=0.114028930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129379272460938 × 215)
    floor (0.129379272460938 × 32768)
    floor (4239.5)     		tx = 4239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114028930664062 × 215)
    floor (0.114028930664062 × 32768)
    floor (3736.5)     		ty = 3736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4239 / 3736 ti = "15/4239/3736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4239/3736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4239 ÷ 215
    4239 ÷ 32768     		x = 0.129364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3736 ÷ 215
    3736 ÷ 32768     		y = 0.114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.74127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32877458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114013671875 × 2 - 1) × π
    0.77197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42522362557788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32877458} λ = -2.32877458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42522362557788))-π/2
    2×atan(11.3047571694891)-π/2
    2×1.4825676394913-π/2
    2.96513527898261-1.57079632675     		φ = 1.39433895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32877458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.428955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39433895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.889737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4239 KachelY 3736 -2.32877458 1.39433895 -133.428955 79.889737
    Oben rechts KachelX + 1 4240 KachelY 3736 -2.32858284 1.39433895 -133.417969 79.889737
    Unten links KachelX 4239 KachelY + 1 3737 -2.32877458 1.39430529 -133.428955 79.887808
    Unten rechts KachelX + 1 4240 KachelY + 1 3737 -2.32858284 1.39430529 -133.417969 79.887808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39433895-1.39430529) × R
    3.36600000001575e-05 × 6371000     		dl = 214.447860001003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39433895-1.39430529) × R
    3.36600000001575e-05 × 6371000     		dr = 214.447860001003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32877458--2.32858284) × cos(1.39433895) × R
    0.000191739999999996 × 0.17554306979449 × 6371000     		do = 214.439120277457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32877458--2.32858284) × cos(1.39430529) × R
    0.000191739999999996 × 0.175576207014214 × 6371000     		du = 214.479599894535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39433895)-sin(1.39430529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17554306979449-0.175576207014214)×R²
    abs(-2.32858284--2.32877458)×3.31372197241997e-05×R²
    0.000191739999999996×3.31372197241997e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.31372197241997e-05×40589641000000     		ar = 45990.3508319787m²