Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4239 / 12403
↖ ↑ ↗
← N 40.019201°
W133.428955°		 ← 935.52 m → N 40.019201°
W133.417969°		 →
↑
935.65 m
↓
↑
935.65 m
↓
N 40.010787°
W133.428955°		 ← 935.63 m →
875 367 m²		 N 40.010787°
W133.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129379272460938 y=0.378524780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129379272460938 × 215)
    floor (0.129379272460938 × 32768)
    floor (4239.5)     		tx = 4239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378524780273438 × 215)
    floor (0.378524780273438 × 32768)
    floor (12403.5)     		ty = 12403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4239 / 12403 ti = "15/4239/12403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4239/12403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4239 ÷ 215
    4239 ÷ 32768     		x = 0.129364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12403 ÷ 215
    12403 ÷ 32768     		y = 0.378509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.74127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32877458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378509521484375 × 2 - 1) × π
    0.24298095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.763347189549774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32877458} λ = -2.32877458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763347189549774))-π/2
    2×atan(2.14544542797131)-π/2
    2×1.13463157680787-π/2
    2.26926315361574-1.57079632675     		φ = 0.69846683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32877458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.428955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69846683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.019201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4239 KachelY 12403 -2.32877458 0.69846683 -133.428955 40.019201
    Oben rechts KachelX + 1 4240 KachelY 12403 -2.32858284 0.69846683 -133.417969 40.019201
    Unten links KachelX 4239 KachelY + 1 12404 -2.32877458 0.69831997 -133.428955 40.010787
    Unten rechts KachelX + 1 4240 KachelY + 1 12404 -2.32858284 0.69831997 -133.417969 40.010787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69846683-0.69831997) × R
    0.000146859999999971 × 6371000     		dl = 935.645059999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69846683-0.69831997) × R
    0.000146859999999971 × 6371000     		dr = 935.645059999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32877458--2.32858284) × cos(0.69846683) × R
    0.000191739999999996 × 0.765828983206317 × 6371000     		do = 935.517953707887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32877458--2.32858284) × cos(0.69831997) × R
    0.000191739999999996 × 0.765923412432855 × 6371000     		du = 935.633306141287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69846683)-sin(0.69831997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765828983206317-0.765923412432855)×R²
    abs(-2.32858284--2.32877458)×9.44292265379065e-05×R²
    0.000191739999999996×9.44292265379065e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.44292265379065e-05×40589641000000     		ar = 875366.717968379m²