Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4238 / 2955
↖ ↑ ↗
← N 44.746733°
E  6.240235°		 ← 3 470.51 m → N 44.746733°
E  6.284180°		 →
↑
3 471.43 m
↓
↑
3 471.43 m
↓
N 44.715514°
E  6.240235°		 ← 3 472.39 m →
12 050 895 m²		 N 44.715514°
E  6.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51739501953125 y=0.36077880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51739501953125 × 213)
    floor (0.51739501953125 × 8192)
    floor (4238.5)     		tx = 4238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36077880859375 × 213)
    floor (0.36077880859375 × 8192)
    floor (2955.5)     		ty = 2955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4238 / 2955 ti = "13/4238/2955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4238/2955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4238 ÷ 213
    4238 ÷ 8192     		x = 0.517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2955 ÷ 213
    2955 ÷ 8192     		y = 0.3607177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517333984375 × 2 - 1) × π
    0.03466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10891264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3607177734375 × 2 - 1) × π
    0.278564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.875136039463745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10891264} λ = 0.10891264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.875136039463745))-π/2
    2×atan(2.39920165787436)-π/2
    2×1.17588707566551-π/2
    2.35177415133103-1.57079632675     		φ = 0.78097782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10891264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.240235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78097782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.746733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4238 KachelY 2955 0.10891264 0.78097782 6.240235 44.746733
    Oben rechts KachelX + 1 4239 KachelY 2955 0.10967963 0.78097782 6.284180 44.746733
    Unten links KachelX 4238 KachelY + 1 2956 0.10891264 0.78043294 6.240235 44.715514
    Unten rechts KachelX + 1 4239 KachelY + 1 2956 0.10967963 0.78043294 6.284180 44.715514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78097782-0.78043294) × R
    0.000544880000000081 × 6371000     		dl = 3471.43048000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78097782-0.78043294) × R
    0.000544880000000081 × 6371000     		dr = 3471.43048000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10891264-0.10967963) × cos(0.78097782) × R
    0.000766989999999995 × 0.710225517576633 × 6371000     		do = 3470.51222602497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10891264-0.10967963) × cos(0.78043294) × R
    0.000766989999999995 × 0.710608993604276 × 6371000     		du = 3472.38607906092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78097782)-sin(0.78043294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710225517576633-0.710608993604276)×R²
    abs(0.10967963-0.10891264)×0.000383476027642771×R²
    0.000766989999999995×0.000383476027642771×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383476027642771×40589641000000     		ar = 12050894.6960623m²