Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42373 / 91779
↖ ↑ ↗
← S 58.267621°
W 63.619080°		 ← 160.64 m → S 58.267621°
W 63.616333°		 →
↑
160.68 m
↓
↑
160.68 m
↓
S 58.269066°
W 63.619080°		 ← 160.63 m →
25 810 m²		 S 58.269066°
W 63.616333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323284149169922 y=0.700222015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323284149169922 × 217)
    floor (0.323284149169922 × 131072)
    floor (42373.5)     		tx = 42373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700222015380859 × 217)
    floor (0.700222015380859 × 131072)
    floor (91779.5)     		ty = 91779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42373 / 91779 ti = "17/42373/91779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42373/91779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42373 ÷ 217
    42373 ÷ 131072     		x = 0.323280334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91779 ÷ 217
    91779 ÷ 131072     		y = 0.700218200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.323280334472656 × 2 - 1) × π
    -0.353439331054688 × 3.1415926535     		Λ = -1.11036241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700218200683594 × 2 - 1) × π
    -0.400436401367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.25800805672913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.11036241} λ = -1.11036241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25800805672913))-π/2
    2×atan(0.284219612349562)-π/2
    2×0.276917246254283-π/2
    0.553834492508567-1.57079632675     		φ = -1.01696183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.11036241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.619080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01696183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.267621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42373 KachelY 91779 -1.11036241 -1.01696183 -63.619080 -58.267621
    Oben rechts KachelX + 1 42374 KachelY 91779 -1.11031447 -1.01696183 -63.616333 -58.267621
    Unten links KachelX 42373 KachelY + 1 91780 -1.11036241 -1.01698705 -63.619080 -58.269066
    Unten rechts KachelX + 1 42374 KachelY + 1 91780 -1.11031447 -1.01698705 -63.616333 -58.269066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01696183--1.01698705) × R
    2.5219999999937e-05 × 6371000     		dl = 160.676619999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01696183--1.01698705) × R
    2.5219999999937e-05 × 6371000     		dr = 160.676619999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.11036241--1.11031447) × cos(-1.01696183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.525952380841162 × 6371000     		do = 160.639395123068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.11036241--1.11031447) × cos(-1.01698705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.525930930710391 × 6371000     		du = 160.632843701004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01696183)-sin(-1.01698705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525952380841162-0.525930930710391)×R²
    abs(-1.11031447--1.11036241)×2.14501307715942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14501307715942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14501307715942e-05×40589641000000     		ar = 25810.4687182722m²