Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42372 / 91780
↖ ↑ ↗
← S 58.269066°
W 63.621826°		 ← 160.60 m → S 58.269066°
W 63.619080°		 →
↑
160.61 m
↓
↑
160.61 m
↓
S 58.270510°
W 63.621826°		 ← 160.59 m →
25 794 m²		 S 58.270510°
W 63.619080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323276519775391 y=0.700229644775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323276519775391 × 217)
    floor (0.323276519775391 × 131072)
    floor (42372.5)     		tx = 42372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700229644775391 × 217)
    floor (0.700229644775391 × 131072)
    floor (91780.5)     		ty = 91780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42372 / 91780 ti = "17/42372/91780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42372/91780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42372 ÷ 217
    42372 ÷ 131072     		x = 0.323272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91780 ÷ 217
    91780 ÷ 131072     		y = 0.700225830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.323272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.35345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.11041034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700225830078125 × 2 - 1) × π
    -0.40045166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25805599362875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.11041034} λ = -1.11041034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25805599362875))-π/2
    2×atan(0.28420598806909)-π/2
    2×0.276904640248111-π/2
    0.553809280496222-1.57079632675     		φ = -1.01698705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.11041034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.621826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01698705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.269066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42372 KachelY 91780 -1.11041034 -1.01698705 -63.621826 -58.269066
    Oben rechts KachelX + 1 42373 KachelY 91780 -1.11036241 -1.01698705 -63.619080 -58.269066
    Unten links KachelX 42372 KachelY + 1 91781 -1.11041034 -1.01701226 -63.621826 -58.270510
    Unten rechts KachelX + 1 42373 KachelY + 1 91781 -1.11036241 -1.01701226 -63.619080 -58.270510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01698705--1.01701226) × R
    2.52099999999977e-05 × 6371000     		dl = 160.612909999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01698705--1.01701226) × R
    2.52099999999977e-05 × 6371000     		dr = 160.612909999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.11041034--1.11036241) × cos(-1.01698705) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.525930930710391 × 6371000     		do = 160.599336641613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.11041034--1.11036241) × cos(-1.01701226) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.525909488750507 × 6371000     		du = 160.592789081215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01698705)-sin(-1.01701226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525930930710391-0.525909488750507)×R²
    abs(-1.11036241--1.11041034)×2.1441959883739e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.1441959883739e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.1441959883739e-05×40589641000000     		ar = 25793.8009922542m²