Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4237 / 2981
↖ ↑ ↗
← N 43.929550°
E  6.196289°		 ← 3 519.22 m → N 43.929550°
E  6.240235°		 →
↑
3 520.17 m
↓
↑
3 520.17 m
↓
N 43.897893°
E  6.196289°		 ← 3 521.09 m →
12 391 545 m²		 N 43.897893°
E  6.240235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51727294921875 y=0.36395263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51727294921875 × 213)
    floor (0.51727294921875 × 8192)
    floor (4237.5)     		tx = 4237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36395263671875 × 213)
    floor (0.36395263671875 × 8192)
    floor (2981.5)     		ty = 2981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4237 / 2981 ti = "13/4237/2981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4237/2981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4237 ÷ 213
    4237 ÷ 8192     		x = 0.5172119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2981 ÷ 213
    2981 ÷ 8192     		y = 0.3638916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5172119140625 × 2 - 1) × π
    0.034423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10814565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3638916015625 × 2 - 1) × π
    0.272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.855194289221802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10814565} λ = 0.10814565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855194289221802))-π/2
    2×atan(2.35183127165654)-π/2
    2×1.16875580603652-π/2
    2.33751161207303-1.57079632675     		φ = 0.76671529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10814565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.196289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76671529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.929550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4237 KachelY 2981 0.10814565 0.76671529 6.196289 43.929550
    Oben rechts KachelX + 1 4238 KachelY 2981 0.10891264 0.76671529 6.240235 43.929550
    Unten links KachelX 4237 KachelY + 1 2982 0.10814565 0.76616276 6.196289 43.897893
    Unten rechts KachelX + 1 4238 KachelY + 1 2982 0.10891264 0.76616276 6.240235 43.897893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76671529-0.76616276) × R
    0.000552529999999996 × 6371000     		dl = 3520.16862999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76671529-0.76616276) × R
    0.000552529999999996 × 6371000     		dr = 3520.16862999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10814565-0.10891264) × cos(0.76671529) × R
    0.000766990000000009 × 0.72019339499839 × 6371000     		do = 3519.22019216199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10814565-0.10891264) × cos(0.76616276) × R
    0.000766990000000009 × 0.720576615639288 × 6371000     		du = 3521.09279725233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76671529)-sin(0.76616276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72019339499839-0.720576615639288)×R²
    abs(0.10891264-0.10814565)×0.000383220640898352×R²
    0.000766990000000009×0.000383220640898352×6371000²
    0.000766990000000009×0.000383220640898352×40589641000000     		ar = 12391544.7806107m²