Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42368 / 54656
↖ ↑ ↗
← N 28.613460°
W 63.632812°		 ← 268.12 m → N 28.613460°
W 63.630066°		 →
↑
268.16 m
↓
↑
268.16 m
↓
N 28.611048°
W 63.632812°		 ← 268.13 m →
71 900 m²		 N 28.611048°
W 63.630066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323246002197266 y=0.416996002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323246002197266 × 217)
    floor (0.323246002197266 × 131072)
    floor (42368.5)     		tx = 42368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416996002197266 × 217)
    floor (0.416996002197266 × 131072)
    floor (54656.5)     		ty = 54656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42368 / 54656 ti = "17/42368/54656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42368/54656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42368 ÷ 217
    42368 ÷ 131072     		x = 0.3232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54656 ÷ 217
    54656 ÷ 131072     		y = 0.4169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3232421875 × 2 - 1) × π
    -0.353515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.11060209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4169921875 × 2 - 1) × π
    0.166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.11060209} λ = -1.11060209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.521553467866211))-π/2
    2×atan(1.6846426562412)-π/2
    2×1.03509770205824-π/2
    2.07019540411649-1.57079632675     		φ = 0.49939908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.11060209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.632812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49939908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.613460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42368 KachelY 54656 -1.11060209 0.49939908 -63.632812 28.613460
    Oben rechts KachelX + 1 42369 KachelY 54656 -1.11055415 0.49939908 -63.630066 28.613460
    Unten links KachelX 42368 KachelY + 1 54657 -1.11060209 0.49935699 -63.632812 28.611048
    Unten rechts KachelX + 1 42369 KachelY + 1 54657 -1.11055415 0.49935699 -63.630066 28.611048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49939908-0.49935699) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dl = 268.155389999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49939908-0.49935699) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dr = 268.155389999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.11060209--1.11055415) × cos(0.49939908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877870499818039 × 6371000     		do = 268.124247030918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.11060209--1.11055415) × cos(0.49935699) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877890655861254 × 6371000     		du = 268.130403205333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49939908)-sin(0.49935699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877870499818039-0.877890655861254)×R²
    abs(-1.11055415--1.11060209)×2.01560432157022e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01560432157022e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01560432157022e-05×40589641000000     		ar = 71899.7874474071m²