Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4235 / 2807
↖ ↑ ↗
← N 49.181704°
E  6.108398°		 ← 3 194.16 m → N 49.181704°
E  6.152344°		 →
↑
3 195.06 m
↓
↑
3 195.06 m
↓
N 49.152970°
E  6.108398°		 ← 3 196.01 m →
10 208 478 m²		 N 49.152970°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51702880859375 y=0.34271240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51702880859375 × 213)
    floor (0.51702880859375 × 8192)
    floor (4235.5)     		tx = 4235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34271240234375 × 213)
    floor (0.34271240234375 × 8192)
    floor (2807.5)     		ty = 2807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4235 / 2807 ti = "13/4235/2807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4235/2807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4235 ÷ 213
    4235 ÷ 8192     		x = 0.5169677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2807 ÷ 213
    2807 ÷ 8192     		y = 0.3426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5169677734375 × 2 - 1) × π
    0.033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10661166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3426513671875 × 2 - 1) × π
    0.314697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.988650617764038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10661166} λ = 0.10661166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988650617764038))-π/2
    2×atan(2.68760541740126)-π/2
    2×1.21458949131558-π/2
    2.42917898263116-1.57079632675     		φ = 0.85838266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10661166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85838266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.181704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4235 KachelY 2807 0.10661166 0.85838266 6.108398 49.181704
    Oben rechts KachelX + 1 4236 KachelY 2807 0.10737866 0.85838266 6.152344 49.181704
    Unten links KachelX 4235 KachelY + 1 2808 0.10661166 0.85788116 6.108398 49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 4236 KachelY + 1 2808 0.10737866 0.85788116 6.152344 49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85838266-0.85788116) × R
    0.000501499999999933 × 6371000     		dl = 3195.05649999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85838266-0.85788116) × R
    0.000501499999999933 × 6371000     		dr = 3195.05649999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10661166-0.10737866) × cos(0.85838266) × R
    0.000767000000000004 × 0.653662303401283 × 6371000     		do = 3194.15810432168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10661166-0.10737866) × cos(0.85788116) × R
    0.000767000000000004 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 3196.01228953444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85838266)-sin(0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653662303401283-0.654041749545626)×R²
    abs(0.10737866-0.10661166)×0.00037944614434271×R²
    0.000767000000000004×0.00037944614434271×6371000²
    0.000767000000000004×0.00037944614434271×40589641000000     		ar = 10208477.9404531m²