Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4235 / 2805
↖ ↑ ↗
← N 49.239121°
E  6.108398°		 ← 3 190.45 m → N 49.239121°
E  6.152344°		 →
↑
3 191.36 m
↓
↑
3 191.36 m
↓
N 49.210420°
E  6.108398°		 ← 3 192.30 m →
10 184 839 m²		 N 49.210420°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51702880859375 y=0.34246826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51702880859375 × 213)
    floor (0.51702880859375 × 8192)
    floor (4235.5)     		tx = 4235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34246826171875 × 213)
    floor (0.34246826171875 × 8192)
    floor (2805.5)     		ty = 2805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4235 / 2805 ti = "13/4235/2805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4235/2805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4235 ÷ 213
    4235 ÷ 8192     		x = 0.5169677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2805 ÷ 213
    2805 ÷ 8192     		y = 0.3424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5169677734375 × 2 - 1) × π
    0.033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10661166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3424072265625 × 2 - 1) × π
    0.315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.99018459855188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10661166} λ = 0.10661166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99018459855188))-π/2
    2×atan(2.69173131619254)-π/2
    2×1.21509055304515-π/2
    2.4301811060903-1.57079632675     		φ = 0.85938478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10661166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85938478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.239121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4235 KachelY 2805 0.10661166 0.85938478 6.108398 49.239121
    Oben rechts KachelX + 1 4236 KachelY 2805 0.10737866 0.85938478 6.152344 49.239121
    Unten links KachelX 4235 KachelY + 1 2806 0.10661166 0.85888386 6.108398 49.210420
    Unten rechts KachelX + 1 4236 KachelY + 1 2806 0.10737866 0.85888386 6.152344 49.210420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85938478-0.85888386) × R
    0.000500919999999905 × 6371000     		dl = 3191.36131999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85938478-0.85888386) × R
    0.000500919999999905 × 6371000     		dr = 3191.36131999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10661166-0.10737866) × cos(0.85938478) × R
    0.000767000000000004 × 0.652903584563817 × 6371000     		do = 3190.45058147543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10661166-0.10737866) × cos(0.85888386) × R
    0.000767000000000004 × 0.653282919993597 × 6371000     		du = 3192.30422567517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85938478)-sin(0.85888386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652903584563817-0.653282919993597)×R²
    abs(0.10737866-0.10661166)×0.000379335429779859×R²
    0.000767000000000004×0.000379335429779859×6371000²
    0.000767000000000004×0.000379335429779859×40589641000000     		ar = 10184838.6162555m²