Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4233 / 12409
↖ ↑ ↗
← N 39.968701°
W133.494873°		 ← 936.26 m → N 39.968701°
W133.483887°		 →
↑
936.35 m
↓
↑
936.35 m
↓
N 39.960280°
W133.494873°		 ← 936.37 m →
876 716 m²		 N 39.960280°
W133.483887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129196166992188 y=0.378707885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129196166992188 × 215)
    floor (0.129196166992188 × 32768)
    floor (4233.5)     		tx = 4233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378707885742188 × 215)
    floor (0.378707885742188 × 32768)
    floor (12409.5)     		ty = 12409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4233 / 12409 ti = "15/4233/12409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4233/12409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4233 ÷ 215
    4233 ÷ 32768     		x = 0.129180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12409 ÷ 215
    12409 ÷ 32768     		y = 0.378692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.74163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32992507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378692626953125 × 2 - 1) × π
    0.24261474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.762196703958893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32992507} λ = -2.32992507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762196703958893))-π/2
    2×atan(2.14297854325017)-π/2
    2×1.13419087626066-π/2
    2.26838175252131-1.57079632675     		φ = 0.69758543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32992507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.494873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69758543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.968701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4233 KachelY 12409 -2.32992507 0.69758543 -133.494873 39.968701
    Oben rechts KachelX + 1 4234 KachelY 12409 -2.32973332 0.69758543 -133.483887 39.968701
    Unten links KachelX 4233 KachelY + 1 12410 -2.32992507 0.69743846 -133.494873 39.960280
    Unten rechts KachelX + 1 4234 KachelY + 1 12410 -2.32973332 0.69743846 -133.483887 39.960280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69758543-0.69743846) × R
    0.000146969999999969 × 6371000     		dl = 936.345869999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69758543-0.69743846) × R
    0.000146969999999969 × 6371000     		dr = 936.345869999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32992507--2.32973332) × cos(0.69758543) × R
    0.000191749999999935 × 0.766395464903488 × 6371000     		do = 936.258780947781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32992507--2.32973332) × cos(0.69743846) × R
    0.000191749999999935 × 0.766489865604712 × 6371000     		du = 936.374104549624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69758543)-sin(0.69743846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766395464903488-0.766489865604712)×R²
    abs(-2.32973332--2.32992507)×9.44007012237957e-05×R²
    0.000191749999999935×9.44007012237957e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.44007012237957e-05×40589641000000     		ar = 876716.03575882m²