Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4232 / 4297
↖ ↑ ↗
← S  8.798225°
E  5.976562°		 ← 4 828.99 m → S  8.798225°
E  6.020508°		 →
↑
4 828.71 m
↓
↑
4 828.71 m
↓
S  8.841651°
E  5.976562°		 ← 4 828.43 m →
23 316 436 m²		 S  8.841651°
E  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51666259765625 y=0.52459716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51666259765625 × 213)
    floor (0.51666259765625 × 8192)
    floor (4232.5)     		tx = 4232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52459716796875 × 213)
    floor (0.52459716796875 × 8192)
    floor (4297.5)     		ty = 4297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4232 / 4297 ti = "13/4232/4297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4232/4297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4232 ÷ 213
    4232 ÷ 8192     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4297 ÷ 213
    4297 ÷ 8192     		y = 0.5245361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.049072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.154165069178101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154165069178101))-π/2
    2×atan(0.857130523502301)-π/2
    2×0.708619162103313-π/2
    1.41723832420663-1.57079632675     		φ = -0.15355800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15355800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.798225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4232 KachelY 4297 0.10431069 -0.15355800 5.976562 -8.798225
    Oben rechts KachelX + 1 4233 KachelY 4297 0.10507768 -0.15355800 6.020508 -8.798225
    Unten links KachelX 4232 KachelY + 1 4298 0.10431069 -0.15431592 5.976562 -8.841651
    Unten rechts KachelX + 1 4233 KachelY + 1 4298 0.10507768 -0.15431592 6.020508 -8.841651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15355800--0.15431592) × R
    0.000757919999999995 × 6371000     		dl = 4828.70831999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15355800--0.15431592) × R
    0.000757919999999995 × 6371000     		dr = 4828.70831999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10507768) × cos(-0.15355800) × R
    0.000766990000000009 × 0.988233119582641 × 6371000     		do = 4828.9945077964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10507768) × cos(-0.15431592) × R
    0.000766990000000009 × 0.988116907926707 × 6371000     		du = 4828.42664031946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15355800)-sin(-0.15431592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988233119582641-0.988116907926707)×R²
    abs(0.10507768-0.10431069)×0.000116211655934784×R²
    0.000766990000000009×0.000116211655934784×6371000²
    0.000766990000000009×0.000116211655934784×40589641000000     		ar = 23316436.0399889m²