Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4232 / 12440
↖ ↑ ↗
← N 39.707186°
W133.505860°		 ← 939.83 m → N 39.707186°
W133.494873°		 →
↑
939.85 m
↓
↑
939.85 m
↓
N 39.698734°
W133.505860°		 ← 939.95 m →
883 354 m²		 N 39.698734°
W133.494873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129165649414062 y=0.379653930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129165649414062 × 215)
    floor (0.129165649414062 × 32768)
    floor (4232.5)     		tx = 4232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379653930664062 × 215)
    floor (0.379653930664062 × 32768)
    floor (12440.5)     		ty = 12440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4232 / 12440 ti = "15/4232/12440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4232/12440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4232 ÷ 215
    4232 ÷ 32768     		x = 0.129150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12440 ÷ 215
    12440 ÷ 32768     		y = 0.379638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129150390625 × 2 - 1) × π
    -0.74169921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33011682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379638671875 × 2 - 1) × π
    0.24072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.756252528406006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33011682} λ = -2.33011682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756252528406006))-π/2
    2×atan(2.13027808684989)-π/2
    2×1.13190873532193-π/2
    2.26381747064385-1.57079632675     		φ = 0.69302114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33011682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.505860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69302114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.707186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4232 KachelY 12440 -2.33011682 0.69302114 -133.505860 39.707186
    Oben rechts KachelX + 1 4233 KachelY 12440 -2.32992507 0.69302114 -133.494873 39.707186
    Unten links KachelX 4232 KachelY + 1 12441 -2.33011682 0.69287362 -133.505860 39.698734
    Unten rechts KachelX + 1 4233 KachelY + 1 12441 -2.32992507 0.69287362 -133.494873 39.698734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69302114-0.69287362) × R
    0.000147520000000068 × 6371000     		dl = 939.849920000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69302114-0.69287362) × R
    0.000147520000000068 × 6371000     		dr = 939.849920000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33011682--2.32992507) × cos(0.69302114) × R
    0.000191750000000379 × 0.769319430290659 × 6371000     		do = 939.830811832566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33011682--2.32992507) × cos(0.69287362) × R
    0.000191750000000379 × 0.769413667183181 × 6371000     		du = 939.945935319269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69302114)-sin(0.69287362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769319430290659-0.769413667183181)×R²
    abs(-2.32992507--2.33011682)×9.42368925226367e-05×R²
    0.000191750000000379×9.42368925226367e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.42368925226367e-05×40589641000000     		ar = 883354.014317194m²