Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4231 / 4335
↖ ↑ ↗
← S 10.444598°
E  5.932617°		 ← 4 805.53 m → S 10.444598°
E  5.976562°		 →
↑
4 805.20 m
↓
↑
4 805.20 m
↓
S 10.487812°
E  5.932617°		 ← 4 804.86 m →
23 089 909 m²		 S 10.487812°
E  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51654052734375 y=0.52923583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51654052734375 × 213)
    floor (0.51654052734375 × 8192)
    floor (4231.5)     		tx = 4231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52923583984375 × 213)
    floor (0.52923583984375 × 8192)
    floor (4335.5)     		ty = 4335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4231 / 4335 ti = "13/4231/4335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4231/4335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4231 ÷ 213
    4231 ÷ 8192     		x = 0.5164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4335 ÷ 213
    4335 ÷ 8192     		y = 0.5291748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5164794921875 × 2 - 1) × π
    0.032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10354370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5291748046875 × 2 - 1) × π
    -0.058349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.183310704147095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10354370} λ = 0.10354370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183310704147095))-π/2
    2×atan(0.83250945140987)-π/2
    2×0.694251853745139-π/2
    1.38850370749028-1.57079632675     		φ = -0.18229262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10354370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18229262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.444598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4231 KachelY 4335 0.10354370 -0.18229262 5.932617 -10.444598
    Oben rechts KachelX + 1 4232 KachelY 4335 0.10431069 -0.18229262 5.976562 -10.444598
    Unten links KachelX 4231 KachelY + 1 4336 0.10354370 -0.18304685 5.932617 -10.487812
    Unten rechts KachelX + 1 4232 KachelY + 1 4336 0.10431069 -0.18304685 5.976562 -10.487812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18229262--0.18304685) × R
    0.000754230000000022 × 6371000     		dl = 4805.19933000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18229262--0.18304685) × R
    0.000754230000000022 × 6371000     		dr = 4805.19933000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10354370-0.10431069) × cos(-0.18229262) × R
    0.000766989999999995 × 0.983430660774588 × 6371000     		do = 4805.52732505526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10354370-0.10431069) × cos(-0.18304685) × R
    0.000766989999999995 × 0.983293650724252 × 6371000     		du = 4804.85782636363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18229262)-sin(-0.18304685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983430660774588-0.983293650724252)×R²
    abs(0.10431069-0.10354370)×0.000137010050336284×R²
    0.000766989999999995×0.000137010050336284×6371000²
    0.000766989999999995×0.000137010050336284×40589641000000     		ar = 23089909.2399034m²