Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4231 / 4169
↖ ↑ ↗
← N 79.019620°
W133.516845°		 ← 232.68 m → N 79.019620°
W133.505860°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
N 79.017527°
W133.516845°		 ← 232.72 m →
54 142 m²		 N 79.017527°
W133.505860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129135131835938 y=0.127243041992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129135131835938 × 215)
    floor (0.129135131835938 × 32768)
    floor (4231.5)     		tx = 4231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127243041992188 × 215)
    floor (0.127243041992188 × 32768)
    floor (4169.5)     		ty = 4169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4231 / 4169 ti = "15/4231/4169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4231/4169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4231 ÷ 215
    4231 ÷ 32768     		x = 0.129119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4169 ÷ 215
    4169 ÷ 32768     		y = 0.127227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.74176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33030856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127227783203125 × 2 - 1) × π
    0.74554443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34219691543594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33030856} λ = -2.33030856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34219691543594))-π/2
    2×atan(10.404068332131)-π/2
    2×1.4749744346853-π/2
    2.9499488693706-1.57079632675     		φ = 1.37915254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33030856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.516845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37915254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.019620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4231 KachelY 4169 -2.33030856 1.37915254 -133.516845 79.019620
    Oben rechts KachelX + 1 4232 KachelY 4169 -2.33011682 1.37915254 -133.505860 79.019620
    Unten links KachelX 4231 KachelY + 1 4170 -2.33030856 1.37911602 -133.516845 79.017527
    Unten rechts KachelX + 1 4232 KachelY + 1 4170 -2.33011682 1.37911602 -133.505860 79.017527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37915254-1.37911602) × R
    3.65199999998733e-05 × 6371000     		dl = 232.668919999193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37915254-1.37911602) × R
    3.65199999998733e-05 × 6371000     		dr = 232.668919999193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33030856--2.33011682) × cos(1.37915254) × R
    0.000191739999999996 × 0.190472844692162 × 6371000     		do = 232.676968110159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33030856--2.33011682) × cos(1.37911602) × R
    0.000191739999999996 × 0.19050869597395 × 6371000     		du = 232.720763159069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37915254)-sin(1.37911602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190472844692162-0.19050869597395)×R²
    abs(-2.33011682--2.33030856)×3.58512817884293e-05×R²
    0.000191739999999996×3.58512817884293e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.58512817884293e-05×40589641000000     		ar = 54141.7937588049m²