Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 423 / 502
↖ ↑ ↗
← N 79.335219°
W142.822266°		 ← 1 808.61 m → N 79.335219°
W142.734375°		 →
↑
1 810 m
↓
↑
1 810 m
↓
N 79.318942°
W142.822266°		 ← 1 811.34 m →
3 276 063 m²		 N 79.318942°
W142.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1033935546875 y=0.1226806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1033935546875 × 212)
    floor (0.1033935546875 × 4096)
    floor (423.5)     		tx = 423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1226806640625 × 212)
    floor (0.1226806640625 × 4096)
    floor (502.5)     		ty = 502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 423 / 502 ti = "12/423/502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/423/502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 423 ÷ 212
    423 ÷ 4096     		x = 0.103271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 502 ÷ 212
    502 ÷ 4096     		y = 0.12255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103271484375 × 2 - 1) × π
    -0.79345703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49271878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12255859375 × 2 - 1) × π
    0.7548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37153429800342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49271878} λ = -2.49271878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37153429800342))-π/2
    2×atan(10.7138178693834)-π/2
    2×1.47772855764175-π/2
    2.9554571152835-1.57079632675     		φ = 1.38466079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49271878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38466079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.335219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 423 KachelY 502 -2.49271878 1.38466079 -142.822266 79.335219
    Oben rechts KachelX + 1 424 KachelY 502 -2.49118480 1.38466079 -142.734375 79.335219
    Unten links KachelX 423 KachelY + 1 503 -2.49271878 1.38437669 -142.822266 79.318942
    Unten rechts KachelX + 1 424 KachelY + 1 503 -2.49118480 1.38437669 -142.734375 79.318942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38466079-1.38437669) × R
    0.000284100000000009 × 6371000     		dl = 1810.00110000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38466079-1.38437669) × R
    0.000284100000000009 × 6371000     		dr = 1810.00110000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49271878--2.49118480) × cos(1.38466079) × R
    0.00153398000000005 × 0.185062574973451 × 6371000     		do = 1808.61406167584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49271878--2.49118480) × cos(1.38437669) × R
    0.00153398000000005 × 0.185341760167756 × 6371000     		du = 1811.34253483312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38466079)-sin(1.38437669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185062574973451-0.185341760167756)×R²
    abs(-2.49118480--2.49271878)×0.000279185194304893×R²
    0.00153398000000005×0.000279185194304893×6371000²
    0.00153398000000005×0.000279185194304893×40589641000000     		ar = 3276062.73285024m²