Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 423 / 487
↖ ↑ ↗
← N 79.576460°
W142.822266°		 ← 1 768.16 m → N 79.576460°
W142.734375°		 →
↑
1 769.48 m
↓
↑
1 769.48 m
↓
N 79.560546°
W142.822266°		 ← 1 770.83 m →
3 131 089 m²		 N 79.560546°
W142.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1033935546875 y=0.1190185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1033935546875 × 212)
    floor (0.1033935546875 × 4096)
    floor (423.5)     		tx = 423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1190185546875 × 212)
    floor (0.1190185546875 × 4096)
    floor (487.5)     		ty = 487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 423 / 487 ti = "12/423/487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/423/487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 423 ÷ 212
    423 ÷ 4096     		x = 0.103271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 487 ÷ 212
    487 ÷ 4096     		y = 0.118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103271484375 × 2 - 1) × π
    -0.79345703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49271878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118896484375 × 2 - 1) × π
    0.76220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39454400982105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49271878} λ = -2.49271878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39454400982105))-π/2
    2×atan(10.9631978086038)-π/2
    2×1.47983377799593-π/2
    2.95966755599186-1.57079632675     		φ = 1.38887123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49271878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38887123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.576460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 423 KachelY 487 -2.49271878 1.38887123 -142.822266 79.576460
    Oben rechts KachelX + 1 424 KachelY 487 -2.49118480 1.38887123 -142.734375 79.576460
    Unten links KachelX 423 KachelY + 1 488 -2.49271878 1.38859349 -142.822266 79.560546
    Unten rechts KachelX + 1 424 KachelY + 1 488 -2.49118480 1.38859349 -142.734375 79.560546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38887123-1.38859349) × R
    0.000277739999999804 × 6371000     		dl = 1769.48153999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38887123-1.38859349) × R
    0.000277739999999804 × 6371000     		dr = 1769.48153999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49271878--2.49118480) × cos(1.38887123) × R
    0.00153398000000005 × 0.180923234854145 × 6371000     		do = 1768.1603462398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49271878--2.49118480) × cos(1.38859349) × R
    0.00153398000000005 × 0.181196384390541 × 6371000     		du = 1770.82983299333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38887123)-sin(1.38859349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180923234854145-0.181196384390541)×R²
    abs(-2.49118480--2.49271878)×0.000273149536395678×R²
    0.00153398000000005×0.000273149536395678×6371000²
    0.00153398000000005×0.000273149536395678×40589641000000     		ar = 3131088.91632467m²