Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 423 / 102
↖ ↑ ↗
← N 80.760615°
W 31.289062°		 ← 6 276.59 m → N 80.760615°
W 30.937500°		 →
↑
6 295.63 m
↓
↑
6 295.63 m
↓
N 80.703997°
W 31.289062°		 ← 6 314.72 m →
39 635 120 m²		 N 80.703997°
W 30.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41357421875 y=0.10009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41357421875 × 210)
    floor (0.41357421875 × 1024)
    floor (423.5)     		tx = 423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10009765625 × 210)
    floor (0.10009765625 × 1024)
    floor (102.5)     		ty = 102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 423 / 102 ti = "10/423/102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/423/102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 423 ÷ 210
    423 ÷ 1024     		x = 0.4130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102 ÷ 210
    102 ÷ 1024     		y = 0.099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4130859375 × 2 - 1) × π
    -0.173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54609716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099609375 × 2 - 1) × π
    0.80078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54609716} λ = -0.54609716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51572849206055))-π/2
    2×atan(12.3756210377045)-π/2
    2×1.49016747968211-π/2
    2.98033495936421-1.57079632675     		φ = 1.40953863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54609716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.289062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40953863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.760615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 423 KachelY 102 -0.54609716 1.40953863 -31.289062 80.760615
    Oben rechts KachelX + 1 424 KachelY 102 -0.53996124 1.40953863 -30.937500 80.760615
    Unten links KachelX 423 KachelY + 1 103 -0.54609716 1.40855046 -31.289062 80.703997
    Unten rechts KachelX + 1 424 KachelY + 1 103 -0.53996124 1.40855046 -30.937500 80.703997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40953863-1.40855046) × R
    0.000988169999999844 × 6371000     		dl = 6295.63106999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40953863-1.40855046) × R
    0.000988169999999844 × 6371000     		dr = 6295.63106999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54609716--0.53996124) × cos(1.40953863) × R
    0.00613591999999996 × 0.160559712872195 × 6371000     		do = 6276.59167675443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54609716--0.53996124) × cos(1.40855046) × R
    0.00613591999999996 × 0.161534983931327 × 6371000     		du = 6314.71692064545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40953863)-sin(1.40855046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160559712872195-0.161534983931327)×R²
    abs(-0.53996124--0.54609716)×0.000975271059131561×R²
    0.00613591999999996×0.000975271059131561×6371000²
    0.00613591999999996×0.000975271059131561×40589641000000     		ar = 39635120.0341018m²