Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4229 / 2931
↖ ↑ ↗
← N 45.490946°
E  5.844726°		 ← 3 425.54 m → N 45.490946°
E  5.888672°		 →
↑
3 426.45 m
↓
↑
3 426.45 m
↓
N 45.460131°
E  5.844726°		 ← 3 427.41 m →
11 740 653 m²		 N 45.460131°
E  5.888672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51629638671875 y=0.35784912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51629638671875 × 213)
    floor (0.51629638671875 × 8192)
    floor (4229.5)     		tx = 4229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35784912109375 × 213)
    floor (0.35784912109375 × 8192)
    floor (2931.5)     		ty = 2931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4229 / 2931 ti = "13/4229/2931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4229/2931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4229 ÷ 213
    4229 ÷ 8192     		x = 0.5162353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2931 ÷ 213
    2931 ÷ 8192     		y = 0.3577880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5162353515625 × 2 - 1) × π
    0.032470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10200972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3577880859375 × 2 - 1) × π
    0.284423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.893543808917847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10200972} λ = 0.10200972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.893543808917847))-π/2
    2×atan(2.44377459443018)-π/2
    2×1.18238155447964-π/2
    2.36476310895927-1.57079632675     		φ = 0.79396678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10200972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.844726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79396678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.490946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4229 KachelY 2931 0.10200972 0.79396678 5.844726 45.490946
    Oben rechts KachelX + 1 4230 KachelY 2931 0.10277671 0.79396678 5.888672 45.490946
    Unten links KachelX 4229 KachelY + 1 2932 0.10200972 0.79342896 5.844726 45.460131
    Unten rechts KachelX + 1 4230 KachelY + 1 2932 0.10277671 0.79342896 5.888672 45.460131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79396678-0.79342896) × R
    0.000537820000000022 × 6371000     		dl = 3426.45122000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79396678-0.79342896) × R
    0.000537820000000022 × 6371000     		dr = 3426.45122000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10200972-0.10277671) × cos(0.79396678) × R
    0.000766989999999995 × 0.701021970271482 × 6371000     		do = 3425.53915387416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10200972-0.10277671) × cos(0.79342896) × R
    0.000766989999999995 × 0.701405409648006 × 6371000     		du = 3427.41282781466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79396678)-sin(0.79342896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701021970271482-0.701405409648006)×R²
    abs(0.10277671-0.10200972)×0.000383439376524075×R²
    0.000766989999999995×0.000383439376524075×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383439376524075×40589641000000     		ar = 11740653.1221278m²