Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4228 / 4483
↖ ↑ ↗
← S 16.762468°
E  5.800781°		 ← 4 678.86 m → S 16.762468°
E  5.844726°		 →
↑
4 678.35 m
↓
↑
4 678.35 m
↓
S 16.804541°
E  5.800781°		 ← 4 677.82 m →
21 886 932 m²		 S 16.804541°
E  5.844726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51617431640625 y=0.54730224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51617431640625 × 213)
    floor (0.51617431640625 × 8192)
    floor (4228.5)     		tx = 4228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.54730224609375 × 213)
    floor (0.54730224609375 × 8192)
    floor (4483.5)     		ty = 4483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4228 / 4483 ti = "13/4228/4483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4228/4483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4228 ÷ 213
    4228 ÷ 8192     		x = 0.51611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4483 ÷ 213
    4483 ÷ 8192     		y = 0.5472412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    0.0322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10124273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5472412109375 × 2 - 1) × π
    -0.094482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.296825282447388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10124273} λ = 0.10124273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.296825282447388))-π/2
    2×atan(0.743173846535087)-π/2
    2×0.639118037182839-π/2
    1.27823607436568-1.57079632675     		φ = -0.29256025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10124273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29256025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.762468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4228 KachelY 4483 0.10124273 -0.29256025 5.800781 -16.762468
    Oben rechts KachelX + 1 4229 KachelY 4483 0.10200972 -0.29256025 5.844726 -16.762468
    Unten links KachelX 4228 KachelY + 1 4484 0.10124273 -0.29329457 5.800781 -16.804541
    Unten rechts KachelX + 1 4229 KachelY + 1 4484 0.10200972 -0.29329457 5.844726 -16.804541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29256025--0.29329457) × R
    0.000734319999999955 × 6371000     		dl = 4678.35271999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29256025--0.29329457) × R
    0.000734319999999955 × 6371000     		dr = 4678.35271999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10124273-0.10200972) × cos(-0.29256025) × R
    0.000766989999999995 × 0.957508626543065 × 6371000     		do = 4678.85947871977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10124273-0.10200972) × cos(-0.29329457) × R
    0.000766989999999995 × 0.95729658711815 × 6371000     		du = 4677.82334949271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29256025)-sin(-0.29329457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957508626543065-0.95729658711815)×R²
    abs(0.10200972-0.10124273)×0.000212039424915433×R²
    0.000766989999999995×0.000212039424915433×6371000²
    0.000766989999999995×0.000212039424915433×40589641000000     		ar = 21886932.263271m²