Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4228 / 2932
↖ ↑ ↗
← N 45.460131°
E  5.800781°		 ← 3 427.41 m → N 45.460131°
E  5.844726°		 →
↑
3 428.36 m
↓
↑
3 428.36 m
↓
N 45.429299°
E  5.800781°		 ← 3 429.29 m →
11 753 626 m²		 N 45.429299°
E  5.844726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51617431640625 y=0.35797119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51617431640625 × 213)
    floor (0.51617431640625 × 8192)
    floor (4228.5)     		tx = 4228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35797119140625 × 213)
    floor (0.35797119140625 × 8192)
    floor (2932.5)     		ty = 2932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4228 / 2932 ti = "13/4228/2932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4228/2932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4228 ÷ 213
    4228 ÷ 8192     		x = 0.51611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2932 ÷ 213
    2932 ÷ 8192     		y = 0.35791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    0.0322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10124273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35791015625 × 2 - 1) × π
    0.2841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.892776818523926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10124273} λ = 0.10124273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892776818523926))-π/2
    2×atan(2.44190096141245)-π/2
    2×1.18211264239774-π/2
    2.36422528479547-1.57079632675     		φ = 0.79342896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10124273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79342896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.460131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4228 KachelY 2932 0.10124273 0.79342896 5.800781 45.460131
    Oben rechts KachelX + 1 4229 KachelY 2932 0.10200972 0.79342896 5.844726 45.460131
    Unten links KachelX 4228 KachelY + 1 2933 0.10124273 0.79289084 5.800781 45.429299
    Unten rechts KachelX + 1 4229 KachelY + 1 2933 0.10200972 0.79289084 5.844726 45.429299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79342896-0.79289084) × R
    0.000538119999999975 × 6371000     		dl = 3428.36251999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79342896-0.79289084) × R
    0.000538119999999975 × 6371000     		dr = 3428.36251999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10124273-0.10200972) × cos(0.79342896) × R
    0.000766989999999995 × 0.701405409648006 × 6371000     		do = 3427.41282781466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10124273-0.10200972) × cos(0.79289084) × R
    0.000766989999999995 × 0.701788859858306 × 6371000     		du = 3429.28655469434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79342896)-sin(0.79289084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701405409648006-0.701788859858306)×R²
    abs(0.10200972-0.10124273)×0.000383450210300174×R²
    0.000766989999999995×0.000383450210300174×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383450210300174×40589641000000     		ar = 11753625.8705777m²