Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4226 / 13186
↖ ↑ ↗
← N 33.119150°
W133.571777°		 ← 1 023.17 m → N 33.119150°
W133.560791°		 →
↑
1 023.25 m
↓
↑
1 023.25 m
↓
N 33.109948°
W133.571777°		 ← 1 023.27 m →
1 047 007 m²		 N 33.109948°
W133.560791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128982543945312 y=0.402420043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128982543945312 × 215)
    floor (0.128982543945312 × 32768)
    floor (4226.5)     		tx = 4226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402420043945312 × 215)
    floor (0.402420043945312 × 32768)
    floor (13186.5)     		ty = 13186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4226 / 13186 ti = "15/4226/13186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4226/13186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4226 ÷ 215
    4226 ÷ 32768     		x = 0.12896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13186 ÷ 215
    13186 ÷ 32768     		y = 0.40240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.7420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33126730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40240478515625 × 2 - 1) × π
    0.1951904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.613208819939758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33126730} λ = -2.33126730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613208819939758))-π/2
    2×atan(1.84634649691882)-π/2
    2×1.07441727184998-π/2
    2.14883454369996-1.57079632675     		φ = 0.57803822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33126730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.571777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57803822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.119150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4226 KachelY 13186 -2.33126730 0.57803822 -133.571777 33.119150
    Oben rechts KachelX + 1 4227 KachelY 13186 -2.33107555 0.57803822 -133.560791 33.119150
    Unten links KachelX 4226 KachelY + 1 13187 -2.33126730 0.57787761 -133.571777 33.109948
    Unten rechts KachelX + 1 4227 KachelY + 1 13187 -2.33107555 0.57787761 -133.560791 33.109948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57803822-0.57787761) × R
    0.000160610000000005 × 6371000     		dl = 1023.24631000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57803822-0.57787761) × R
    0.000160610000000005 × 6371000     		dr = 1023.24631000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33126730--2.33107555) × cos(0.57803822) × R
    0.000191749999999935 × 0.837536142027786 × 6371000     		do = 1023.16702439437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33126730--2.33107555) × cos(0.57787761) × R
    0.000191749999999935 × 0.837623885626437 × 6371000     		du = 1023.27421541842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57803822)-sin(0.57787761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837536142027786-0.837623885626437)×R²
    abs(-2.33107555--2.33126730)×8.77435986510466e-05×R²
    0.000191749999999935×8.77435986510466e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.77435986510466e-05×40589641000000     		ar = 1047006.72588585m²