Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42253 / 10205
↖ ↑ ↗
← N 76.884514°
E 52.102661°		 ← 138.60 m → N 76.884514°
E 52.108154°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
N 76.883268°
E 52.102661°		 ← 138.61 m →
19 206 m²		 N 76.883268°
E 52.108154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644737243652344 y=0.155723571777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644737243652344 × 216)
    floor (0.644737243652344 × 65536)
    floor (42253.5)     		tx = 42253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155723571777344 × 216)
    floor (0.155723571777344 × 65536)
    floor (10205.5)     		ty = 10205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42253 / 10205 ti = "16/42253/10205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42253/10205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42253 ÷ 216
    42253 ÷ 65536     		x = 0.644729614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10205 ÷ 216
    10205 ÷ 65536     		y = 0.155715942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644729614257812 × 2 - 1) × π
    0.289459228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90936299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155715942382812 × 2 - 1) × π
    0.688568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16320053225465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90936299} λ = 0.90936299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16320053225465))-π/2
    2×atan(8.6989343726363)-π/2
    2×1.45634212458649-π/2
    2.91268424917298-1.57079632675     		φ = 1.34188792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90936299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.102661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34188792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.884514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42253 KachelY 10205 0.90936299 1.34188792 52.102661 76.884514
    Oben rechts KachelX + 1 42254 KachelY 10205 0.90945886 1.34188792 52.108154 76.884514
    Unten links KachelX 42253 KachelY + 1 10206 0.90936299 1.34186617 52.102661 76.883268
    Unten rechts KachelX + 1 42254 KachelY + 1 10206 0.90945886 1.34186617 52.108154 76.883268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34188792-1.34186617) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34188792-1.34186617) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90936299-0.90945886) × cos(1.34188792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226914540299212 × 6371000     		do = 138.596626049928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90936299-0.90945886) × cos(1.34186617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226935722889688 × 6371000     		du = 138.609564117128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34188792)-sin(1.34186617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226914540299212-0.226935722889688)×R²
    abs(0.90945886-0.90936299)×2.11825904760932e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11825904760932e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11825904760932e-05×40589641000000     		ar = 19206.1269343083m²