Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42253 / 10201
↖ ↑ ↗
← N 76.889500°
E 52.102661°		 ← 138.54 m → N 76.889500°
E 52.108154°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
N 76.888254°
E 52.102661°		 ← 138.56 m →
19 199 m²		 N 76.888254°
E 52.108154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644737243652344 y=0.155662536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644737243652344 × 216)
    floor (0.644737243652344 × 65536)
    floor (42253.5)     		tx = 42253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155662536621094 × 216)
    floor (0.155662536621094 × 65536)
    floor (10201.5)     		ty = 10201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42253 / 10201 ti = "16/42253/10201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42253/10201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42253 ÷ 216
    42253 ÷ 65536     		x = 0.644729614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10201 ÷ 216
    10201 ÷ 65536     		y = 0.155654907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644729614257812 × 2 - 1) × π
    0.289459228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90936299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155654907226562 × 2 - 1) × π
    0.688690185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16358402745161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90936299} λ = 0.90936299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16358402745161))-π/2
    2×atan(8.70227101193857)-π/2
    2×1.4563856267798-π/2
    2.91277125355959-1.57079632675     		φ = 1.34197493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90936299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.102661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34197493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.889500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42253 KachelY 10201 0.90936299 1.34197493 52.102661 76.889500
    Oben rechts KachelX + 1 42254 KachelY 10201 0.90945886 1.34197493 52.108154 76.889500
    Unten links KachelX 42253 KachelY + 1 10202 0.90936299 1.34195318 52.102661 76.888254
    Unten rechts KachelX + 1 42254 KachelY + 1 10202 0.90945886 1.34195318 52.108154 76.888254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34197493-1.34195318) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34197493-1.34195318) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90936299-0.90945886) × cos(1.34197493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226829799124616 × 6371000     		do = 138.544867176869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90936299-0.90945886) × cos(1.34195318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226850982144461 × 6371000     		du = 138.557805506322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34197493)-sin(1.34195318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226829799124616-0.226850982144461)×R²
    abs(0.90945886-0.90936299)×2.11830198443563e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11830198443563e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11830198443563e-05×40589641000000     		ar = 19198.954764242m²